Рассмотрим дискретное уравнение состояния

х[(к + 1)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (4-103)

Возьмем z-преобразование от обеих частей этого уравнения:

zX(z) - zx(0) = 0(T)X(z) -(- e(T)U(z) (4-104)

где по определению

X(z) = Z x(kT)z-k (4405)

то же самое относится и к U(z). Определяя X(z) из (4-104), получим

X(z) = [zl- 0(T)]-lzx(O) + [zl- T)]-ie(T)U(z) (4-106)

Обратное z-преобразование последнего выражения дает

х(кТ) =-1 [[zl - <KT)]-Ч]х(0) -(- f- [[zl - <ЯТ)] -ie(T)U(z)]<4-107)

Покажем, что обратное z-преобразование от [zl - ЩГ)]~ есть дискретная переходная матрица состояния Ф(кГ).

z-преобразование Ф(/(г7) определяется известным способом:

Ф(г)= f (kT)z- (4.108)

к=0

Умножая обе части последнего уравнения слева на Ф{Т)2~ и вычитая результат из (4-108), получаем

[1-0(Т)г-1]Ф(г)= I

Отсюда

Ф(2) = [I - 0(T)z-i ] -1 = [zl - ф(Т)] -1Z 4-109)

Вьиисляя обратное z-преобразование от обеих частей последнего уравнения, получаем

0(kT) = -l[[zI-0(T)]-lz] (4-110)

Таким образом, выражение (4-110) представляет собой метод определения переходной матрицы состояния дискретного уравнения состояния, основанный на г-преобразование.

Последний член в выражении (4-107) вычисляем с помощью теоремы свертки (3-113) и выражения (4-110). Можно показать, что

[zi-0(T)]-ie(T)U(z)

= У 0[(к-i-i)T]e(T)u(iT) (4-111)

В целом переходное уравнение состояния

х(кТ) = 0(кТ)х(О) + 0[(к - i - l)T]e(T)u(iT) (4412)

имеет ту же самую форму, что и (4-91). С помощью описанного метода

Рис. 4.3. Разомкнутая цифровая система

c(t)

z-преобразования по аналогии могут бьпъ решены и уравнения состояния в форме (4-87) и (4-89).

Пример 4.1. На этом примере проиллюстрируем анализ разомкнутой цифровой системы с помощью описанного выше метода переменных состояния. Структурная схема рассматриваемой системы представлена на рис. 4.3. Уравнения динамики, описывающие линейный объект имеют вид

dx(t) dt

XjCt) X2(t)

u(t)

(4-113)

c(t) = Xj(t) (4-114)

гдех1(0 к X2(t) - переменные состояния; c(f) и u(0 - скалярные выходная и входная переменные, соответственно. Кроме того,-поскольку u(t) - выходной сигнал экстраполятора нулевого порядка, то

u{t) = и(кТ) = г(кТ)

РЛякТ<1<(к+ 1)7 .

Сравнивая (4-113) со стандартной формой уравнения состояния (4-10),имеем

О 1

-2 -3

Образуем матрицу s -1

(si-А) = Отсюда

(sI-A)-l =

2 s-t-3 1

(s -t- 3s -I- 2)

s-t-3 -2

(4-115)

(4-116)

(4-117)

(4-118)

Переходная матрица состояния для матрицы А определяется с использованием обратного преобразования Лапласа от (si - A)-i. Поэтому с учетом (4-34)

*(t) =4(sI-A)-ll =

e-t-e-2t

2e-t e-2t ~2e-t 4-28-2* e-4 2e-2t

Подстановка (4-116) и (4-119) в формулу (4-86) дает

Р в(Т)= 0(T-T)BdT = О

(4-119)

еЧТ-г) р-2(Т-г)

dT =

2 * 2*

(4-120)

Подставляя теперь выражение (4-119) для 1=Ти (4-120) в формулу (4-83), запишем дискретное уравнение состояния системы

Xi[(k+1)T] Х2[(к + 1)Т]

2е-Т-е-2Т

-2eT-t-2e2T е-Т+2е-2Т

Xj(kT) XgCkT)

i p-T , 1 -2Т g-T g-2T

u(kT)

Положим период квантования в системе (4-121) равным I с; 0.6 0.233 -0.466 -0.097

и(к)

(4-121)

(4-122)

Уравнение (4-121) может отождествляться с каноническими уравнениями (4-83) или (4-89). Поэтому с использованием формулы (4-91) решение уравнения (4-121) запишем в виде

2e-N-e-2N

e-N-e-2N

-29- -1- 28- -e- -1- 2e

0.633e-<N-k-l)-o.433e-2(N--l) .-0.вЗЗе-(--1> + 0.8eee-2(N-k-l) где N - любое положительное целое.

xi(0) Х2(0)

U(k)

(4-123)

4.9. СВЯЗЬ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ С ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

Представляет интерес исследовать взаимосвязь метода переменных состояния и метода, основанного на понятии передаточной функции.

Предположим, что цифровая многомерная система описана с помощью z-преобразования соотнощением

C(z) = G(zp(z),

(4-124)

C(z) =

qcz)

C2(Z)

(4-125)

есть 2-преобразование (Х 1)-мерного вектора выхода;