U(z) =

Ui(z)

Up(z)

(4-126)

есть z-преобразование (pX 1)-мерного вектора входа;

G(z) =

Gl(z) G2(z) ... Gp(z) G2i(2) G22(z) G2p(z)

(4-127)

есть матричная дискретная передаточная функция размерностью X р. Элементы матрицы G(z) имеют вид

G,(.)=

m+l m 1

(4-128)

Теперь опишем цифровую систему уравнением динамики х[(к -(- 1)Т] = Ах(кТ) -Ь Ви(кТ)

с(кТ) = Dx(kT) -t- Eu(kT)

Вьиисляя z-преобразование от обеих частей выражения (4-129) и разрешая его относительно X(z), получим

(4-131)

(4-129) (4-130)

X(z)= (zl- А)-Чх(0)-(- (zl- A)-BU(z)

Подстановка (4-131) в z-преобразование от выражения (4-130) дает

C(z) = D(zl- A)-izx(0) -(- D(zl- A)-1bU(z) + EU(z)

(4-132)

Передаточная функция определяется при нулевом начальном состоянии х(0), поэтому выражение (4-132) упрощается до

C(.z) = [D(zl - А)-1В -(- Е] U(z) (4.133)

Из сравнения выражений (4-133) и (4-124) видно, что матричная дискретная передаточная функция системы может быть записана в виде

G(z) = D(zl - А)-1В + Е (4.134)

Если в дискретной системе имеются операции выборки-хранения, и она описывается уравнениями динамики ввда (4-10) и (4-11), в выражении (4-134) нужно лишь заменить матрицы АиВнаФ(7 и0(7) соответственно. Конечно, это можно сделать только при условии, что для системы существует дискретная передаточная функция. В п. 3.10 было показано, что иногда передаточные функции вида (4-124) невозможно определить для импульсных систем с экстраполяторами и существуют только уравнения, связывающие входной и выходной сигналы.

Обратное преобразование матричной передаточной функции называется импульсной переходной матрицей. Применив обратное г-преобразование к обеим частям формулы (4-134), получим

g(kT)= D0[(k-1)Т]В-1-Е6(0) (4-135)*

где б (0) - дельта-функция при t-0.

Поскольку ффс - 1)Т] = О для к< 1, матрицу g{kT) можно записать в виде

g(kT) = Е к = О (4-136)

g(kT) = D0[(k - 1)Т] В к > 1 (4-137)

Пример4.2. В качестве иллюстрации рассмотрим случай, когда требуется определить передаточную функцию разомкнутой системы, изображенной на рис. 4.3 для числовых данных из примера 4.1

Сначала используем метод переменных состояния, описанный выше. Из примера 4,1 имеем

0(1) = 6(1) =

0.6 0.233 -0.466 -0,097

0.2 0*233

(4-138) (4-139)

D=[l 0] ; Е = 0 (4-140)

Подставляя найденные значения (4-138) и (4-140) в формулу (4-134), получаем передаточную функцию системы

Z - 0.6 -0.233

0.466 Z -(- 0.097

G(z) = [l 0]

(4-141)

Чтобы использовать метод z-преобразования, необходимо вначале определить передаточную функцию линейного процесса Gi{s) (см, рис, 4,3), На основании уравнений динамики процесса (4-113) и (4-114) запишем дифференциальное уравнение, связывающее и (f) и c(f):

d2cm+3d£m + 2c(t) = H(t)

(4-142)

где u(t) - выходной сигнал экстраполятора нулевого порядка. Отсюда передаточная функция

G (s)=ei5i= i-

(4-143)

С учетом схемы (см. рис,4.3) дискретная передаточная функция всей системы

G(z)=J

-G,(s)

C{z)

lJ R(z)

(4-144)

G(z) = (l-z-l) --

[s(s2-(-3s-t-2)

(4-145)

Обратное z-преобразование от константы - дельта-функция.

Вычисляя z-преобразование, получаем Q 22 + О 074

G() = (z-0.l35)(z-0.368) 4-146)

что совпадает с полученным выше результатом (4-141).

Импульсную (весовую) последовательность систем можно найти обратным z-преобразованием G(z) . Разложение G(z) на элементарные слагаемые дает

/./,4 0-633 0.433 г-О.Збв Z-0.135

Отсюда

g(k) = 0.633e-<-l)-0.433e-2<-l) (4-147)

для А: > 0. Для к=0 g(0) = 0.

Другой метод определения g{k) основан на использовании формул (4-136) и (4-137). В этом случае

g(0) = E = 0

g(kT) = [l 0]

0.2 0.233

2е-(к-1) е-2(к-1) е - ed-D -2е-- + 2е-2(-1> -(к-1) + 2е-2(к-1)

= 0.633е-( > - 0.433е-2( ) (4-148)

для А: > 0.

4.10. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

Характеристическое уравнение линейной стационарной системы можно записать исходя из разностного уравнения системы, ее передаточной функции или матрицы А.

Разностное уравншие. Пусть линейная одномерная цифровая система описывается разностным уравнением и-го порядка

с(к + п) + а с(к -Ь п - 1) + а :,с(к -Ь п - 2) + ...

-I- a2c(k-t- 1)-!- ас(к) = Ь,г(к-I- п)-I- b ir(k-t- n - 1)-I- ... ... -I- br{k+ 1)-!- br(k)

Характеристическим уравнением системы называется полином и-го порядка, коэффициенты которого совпадают с коэффициентами однородного разностного уравнения. Таким образом, характеристическое уравнение записывается в виде

X -(- а Х -1 -I- a .iX -2 -(- ... -I- agX + = О 4.150)

Передаточная функция системы, описываемой уравнением (4-149), получается путем z-преобразования обеих частей разностного уравнения При нулевых начальных условиях с последующим определением отношения C(z) ?(z). Таким образом, передаточная функция системы (4-149) Г . az) b z +bz -l-b...+ b2Z-bb,

R(z) z + az -l-...-(-a2Z-(-a (4-151)