Характеристическим уравнением называется уравнение, получаемое в результате приравнивания знаменателя передаточной функции к нулю, т.е.

z + az -l + ... + + а, = О (4-152)

Матрица А. Характеристическое уравнение линейной стационарной системы можно также записать, исходя из урав5?екия состояния. Предположим, что цифровая система описывается уравнением состояния

х(к -f- 1) = Ах(к) -f- Bu(k) (4-153)

где х(к) и А - п-мерны.

Характеристическим уравнением системы, которое на практике часто называют характеристическим, уравнением матрицы А, является уравнение, получаемое приравниванием к нулю определителя матрицы zl -- А, т.е.

-=° (4-154)

Заметим, что матрица коэффициентов В вообще не связана с характе-ристическим уравнением, поскольку однородная часть.уравнения (4-153) не включает} в себя Ши{к).

Уравнение (4-154) также можно найти из матрх-нной передаточной функщш (4-134).

Формула (4-134) мо.жет быть записана в ввде

Izl-AI Izl-AI (4-155)

где Aij - алгебраическое дополнение if-то элемента матрицы zl - А: [Aif] - транспонированкал матрвда с элементами Aj/. Приравнивая к нулю определитель, получим хот же результат, что и в выражении (4-154).

Собственные значеаш. Корни характеристического уравненрм называются собственными значениями матрицы. А. Поскольку корни уравнений (4-150) и (4-152) являются собственными значениями матрицы, они совпадают.

Для системы, рассмотренной в примере 4.2, легко показать, что характеристическое уравнение имеет ввд

z2 - 0.503Z -f- 0.0497 = О (4-356)

а его корни Zl =0,135 и z =0368.

Собственные значения об.падают следующими важными свойствэдгли.

1. Если коэффициенты характеристического уравнения есть скалярные величины, то собственные значения либо действительны, либо образуют комплек сно-сопряженные пары.

2. След матршдэ! А определяется как сумма элементов в ее главной дкагоналм,т.е.

След матрицы А = tr(A) = Aj - Аг + ... + Л , (4-157)

где Aj, г = 1, 2,. .., п- собственные значения матрицы А.

3. Определитель матрицы А связан с собственными значекиями соотношением

А1= XjAgAg-.A (4-158)

4. Если матрица А невыроходена и имеет собственные значенш Xj, / = 1, 2, . . ., и, то 1/л/, /=1,2,.. ., п, являются собственными значениями матрщы А *.

5. Если Х/ - собственное значение матрицы А, то оно же является собственным значением матрицы А.

6. Если А - действительная симметрическая матрица, то все ее собственные значения действительны.

7. Для квадратных матриц А и В

IXS-ABi= IXI-BAI (4-159)

В этом случае собственные зкачекия матрицы АВ совпа.цают с собственными значениями матрицы i3A.

Собственные векторы. Вектор размерности/г X 1, который удовлетворяет матричному уравнению

(\t - А)р; = О (4-160)

где Xj,i= 1, 2,..., и - собственное значение матр5щы А, называется собст-втным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению Xj.

Для различных собственных значений собственные векторы могут быть найдены непосредственно из (4-160).

Пример 4.3. Собственными векторами матрицы Ф(1) из примера 4.2 являются векторы pi и р2. удовлетворяющие уравнению

[Xjl-(l)lp.:0 1-1,2 (4.161) или

X:-O.S -0.233

Ip. = 0

0.466 Х--1-0.097 j (4-162)

где \- = 0,135; Л2 = 0,368. Полагая

Pi =

[Pl2J [Р22

(4-163)

из выражения (4-162) получим сначала для Л1 следующие два скалярных уравнения: .466pj, - C.233pj2 = О (4-164)

0.466р.,-Ю.233р2 = 0

Так как эти уравнения линейно зависимы, можно присвоить произвольное значение либорц, либор12. Положим/?!! = 1,тогдаР12 = - 2.

По аналогии подстановка = 0,368 s (4-162) приводит к уравнениям

-0.233р2 - 0.233р22 = О (4-166)

0.466р21 Н- 0.466р22 = О (4-167)

Полагая вновь в этих зависимых уравнениях Р21 = 1, получим Р22 = - 1- Таким образом, собственные векторы

Pi =

P2 =

для Ai = 0,135;

для Л2 = 0,368.

(4-168)

(4-169)

Для различных собственных значений собственные векторы матриид,! А можно также вычислять с использованием любого нулевого столбца матрицы Adj(A;I - А), i- 1, 2,.. .,п.

Пример 4.4. Используя данные из примера 4.3, находим

[Ajl-0(1)] =

Л; - 0.6 -0.233 0.466 Xj + 0.097

Запишем присоединенную матрицу 1?

Adj[U-0(l)] = Тогда

Adj[X,I-0(l)] =

Xj + 0.097 0.233 -0.466 Xj - 0.6

0.233 0.233 -0.466 -0.466

(4-170)

(4-171)

(4-172)

Adj[X2l-0(l)] =

0.466 0.233 -0.466 -0.233

Выбфем Pi равным столбцу присоединенной матрицы (4-172), деленному на общий множитель:

для Ki = 0,135.

(4-173)

{4-т)

Аналогично, используя выражение (4-173), получим Г

для Хг = 0,368.

Р2 =

(4-175)

Некоторые важные свойства собственных векторов состоят в следующем.

1. Ранг матрицы (X/I - А), где X/, i = 1, 2,..., п, - различные собственные значения матрицы А, равен и - 1. Это свойство было проиллюстрировано в предыдущем примере.

2. Собственный вектор определяется любым нулевым столбцом матрицы Aclj(X/1 ~ А), где - /-е простое собственное значение матрицы А.

3. Если матрица А имеет п различных собственных значений, то система из п собственных векторов р/, / = 1, 2,..., и, линейно независима.

4. Если Рг - собственный вектор матрицы А, то kpj есть также соб-ствештай вектор, где к - скаляргмй множитель.

Когда одно или несколько собственных значений матрицы являются кратными корнями характеристического уравнения, полная система из п линейно независимых собственных векторов может существовать или не существовать. Число Л1шейно независимых собственных векторов, соот-

-2 1