ветствующих данному собственному значению кратности mt, равняется дефекту dt матрщы Aji - А. Дефект dj матрицы \i - А определяется как

dj=n-r (4-176)

где п - размерность матрицы А, а Vj - ранг матрицы - А. Всегда существует di линейно независимых собственных векторов, соответствую-, щих Х/. Кроме того,

1 < d. < ш; (4-177)

Собственные векторы матрицы А с кратными собственными значениями определяются следующими методами.

Полная вырожденность (di = т{). Для собственного значения Х, miero-щего кратность mj, в случае полной вырожденности существует полная система из т, собственных векторов, соответствующих \. Эти собственные векторы определяются некулевыми столбцами матрицы

(ш;- 1)!

m.-l

- [Adj(XI-А)]

(4-178)

(4-179)

Пример 4.5. Рассмотрим матрицу

3 0 0 А= 2 4 1 2 14

Характеристическое уравнение матрицы А

1Х1-А1 = (Х-3)2(Х-5) = 0 (4.180)

Собственные значения матрицы А равны = = 3 и Хз = 5. Таким образом, собственное значение Xi = 3 имеет кратность 2, а Хз = 5 является простым. Чтобы определить дефект матрицы XI - А для Xj = 3, образуем матрицу

Xjl-A =

Х-3 -2 -2

Х-4 -1

-1 Х-4

х=3 L

(4-181)

которая имеет ранг, равный 1. Таким образом, дефект матрицы Xil - А

dj = n-rj = 3-1 = 2 . (4-182)

Так как Xi имеет кратность 2, говорят, что матрица Xjl -А полностью вырождена. Теперь, используя формулу (4-178), получаем

IAdj(XI-A)

2Х-8 2 2

. X=Xj

2Х-7 1

Следовательно, два независимых столбца последней матрицы выбираются в качестве собственных векторов:

Дпя собственного значения Лз = 5 собственный вектор определяется обычным образом как решение рз уравнения (X3I - А)рз = О или с использованием произвольного ненулевого столбца матрицы АсУ(Хз1 - А). В результате имеем

Простая вырожденность {dj = 1). В случае когда дефект матрицы ХД ~ А равен шинще (простая вырожденность), существует только один собственный вектор, соответствующий Х независимо от кратности Х,. Собственный вектор, соответствующий Л,-, можно определить тем же методом, что и в случае простых собственных значений. Однако для собственного значения кратности rrii существуют т,; - 1 дополнительных векторов, называемых обобщенными собственными векторами. Эти т,- - 1 обобщенных собственных векторов р/2, Р/з) - - P ?7j , находим из следующих rrii - 1 уравнений:

(Х;1 - A)Pj2 =

-Pil

(Xjl - A)pj3 = -Pi2

(4-184)

(ХЛ-А)р.. = -Р; .

где pji - собственный вектор, соответствующий Xj, который определяется решением

(Х;1-А)Р;1 = 0

Пример 4.6. Рассмотрим матрицу

1 2 (4-185) -2 -3

Ее характеристическое уравнение имеет вид

IXI-Al = x2-f-2X-)-1 = 0 (4-186)

Собственные значения матрицы А равны Xi = Л2 = - 1- Таким образом, собственное значение Xi = - 1 имеет кратность 2.

Д1Я определения дефекта рассмотрим матрицу

Xjl-A =

Х,-1

-2 Xj + 3

-2 -2 2 2

(4-187)

которая имеет ранг, равный 1. Таким образом, дефект матрицы Xil - А также ра-

Таблица 4.1

Характеристика систем

Непрерывная система Цифровая система с фиксатором Цифровая система

Переменные состояния Уравнения состояния:

стационарные

нестационарные Переходная матрица состояния:

стационарная

Нестационарная

изображения матрицы

Импульсная пеходная матрица

Передаточная матрица

Переходные уравнения состояния:

стационарные

нестацион арные

Характеристическое уравнение

x(t) = Ax(t) + Bu(t) i(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)

ф(1Лд) = ехр / A(T)dr Ч)

Ф(в) = (si - A)-> B(t) = Dt)B + E8(t)

G(s)= D(sl- A)-b+ E

x(t) = <Kt-t)x(tp)

+ / <Ht-T)Bu(T)dT

b(t) = (t,toWto)

+ / #(t,T)B(T)u(r)dr tn

Isl - Al = 0

x(kT)

x[(k + 1)T1 = #(T)x(kT) + в(Т)и(кТ)

xl(k + 1)T1 = ф[(к + 1)Т,кТ1х(кТ)

+ ei(k+ l)T,kTlu(kT)

(kT)= WT)]*

,(k+i)T

#l(k + l)T,kT] = exp f A(r)dT кТ

g(kT) = D#[(k - DTIB к > 1

= E k= 0

G(z)=DzI-#(T)]-B + E

x(NT) = #(NT)x(0)

+ X[(N-k-l)T]e(T)u(kT)

x(NT) = #(NT.O)x(0) + fNTN-km

e((N-k)T,(N-k-l)Tlii[(N-k-l)T] Izl-(KT)I= 0

x(k)

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) x(k + 1) = A(k)x(k) + B(k)u(k)

*(k) = A

(KN,k) = A(N - 1)A(N - 2)... A{k+ l)A(k)

Ф(г)= (г1- A) z

g(k)=D*(k- 1)B = E

k> 1 k= 0

G{z)= D(zl - A)->B+ E

x(N) = а х(0) + Y A--Bu(k)

li=0

x(N)= (N,0)x(0)

I- Vw.k + l)B(k)u(k) k-0

Izl - Al = 0