вен 1. Это означает, что можно найти только один независимый собственный вектор с использованием матриил

Adj(XiI-A) =

2 2 -2 -2

Отсюда собственный вектор, соответствующий Xi = - 1, равен 1

Чтобы найти обобщенный собственный вектор, по определению запишем

Разрешая последнее уравнение относительно рг, получим О

(4-188)

(4-189)

(4-190)

Р2 =

Подводя итог, представим для сравнения в табличной форме (табл. 4.1) результаты анализа линейных систем в пространстве состояний, рассмотренные выше.

4.11. ДИАГОНАЛИЗАЦИЯ МАТРИЦЫ А

Решать уравнения состояния стационарных цифровых систем было бы весьма просто, если бы эти уравнения не были связаны друг с другом, т.е. если бы матрица А бьша диагональной. Например, если уравнения состояния вдфровои системы п-го порядка имеют ввд

Xj(k +1)= Х;Х;(к) + £ 7jU.(k) j=l

г = 1, 2, . . ., И, ТО ИХ решения при заданныхXj(0) и и/(к) для к>0 имеют простую форму:

Xj(k) = >к.{0) + Т 1 7jX -lu.(k - m) (4-191)

j-l m-0

Поэтому переходная матрица состояния Ф(к) является также диагональной матрицей с элементами Х, г = 1, 2, . . ., и, расположенными на главной диагонали.

В общем случае, если матрица А имеет различные собственные значения, ее можно пртести к диагональному ввду преобразованием подобия. PaccMOTpmi дискретное уравнение состояния

х(к -I- 1) = Ах(к) -I- Ви(к) (4-192)

гдех(Л) - и-мерный вектор; и(к) - г-мерный вектор; А miecT различные

собственные значения Xj, > Пусть Р - невырожденная матрица, преобразующая вектор состояния х(к) в вектор у (к), т.е.

х(к) = Ру(к) у(к) = р-1ж(к)

Требуемое уравнение состояния имеет ввд у(к + 1) = Лу(к) + Ги(к)

(4-193) (4-194)

Хз ... о

о ... х

(п X п)

(4-195)

(4-196)

Несвязанные уравнения состояния (4-195) известны как лганокмческоя форма. Чтобы найти матрицу Р, подставим выражение (4-193) в уравнение (4-142) и с учетом тождества (4-194) получим

Л = P-IAP (4-197)

Г = р-в

(пХ г)

(4-198)

Существуют несколько методов определения матррщы Р при заданных матрице А и ее собственных значениях. Тем не менее, покажем, что столбцы матрицы Р всегда совпадают с собствершыми векторами матрицы А. Обозначим через р- собственный вектор матрицы А, соответствующий X/. Тогда

Р= [Pl Р2 Рп5 (4-199)

Доказательство этого соотношения проводдт на основании определения собственного вектора (4-160), которое запишем в ввде

XjPj = Apj i = 1,2,...,n (4-200)

Образуем матрицу размерностью и X и

[XjPi Х2Р2 ... X pJ = [Api Ар2 ... Ар 1 = АР

Это выражение также запишем в виде

.(4-201)

(4-202)

[Pl Р2 РпЛ = РА = АР

откуда следует формула (4-197).

Можно показать, что если матрица А записана в канонической форме фазовой переменной, то матрица Р есть матрица Вавдермонда:

(4-203)

.n-1

4.12. КАКОИИЧЕСКАЯ ФОРМА ЖОРДАНА

Если матрица А ( за исключением симметрической матрицы) mvieex кратные собственные зкаченш, она не может быть приведена к диагональному виду. Однако это не означает, что систему невозможно преобразовать к форме, при которой решение уравнений состояния записывается непосредственно по их виду. Если матрица А не может быть приведена к диагональному виду, то тем не менее существует преобразовштае подобия А = Р АР, с помощью которого матрица А преобразуется к кагонической форме Жордана, т.е. почти к диагональной матрице. В качестве примера предположим, что матрица А имеет собственные значения Xi, Х., Хз, Хз> Хз, причем последние три одшаковы. Матрица канонической формы Жордана имеет вид

(4-204)

В качестве другого примера для собственного значения кратности 4 матрица

(4-205)

Каноническая матрица Жордана в общем случае имеет следующие свойства:

диагональными элементами матрицы Л являются собственные значения матрицы А;

все эяементы,расположенные ниже главной диагонали, равны нулю;

некоторые элементы,находящиеся непосредственно над главной диагональю, равны единице;

в матрице А (4-204), разделенной на части пунктирными линиями, подматрицы, которые образованы каждым собственным значением, называются клетками Жордана. Матрица (4-205) целиком образует одну клетку Жордана.

Существует веская причина для использования канонической форьлы Жордана, даже если она не является диагональной матрицей. Рассмотргм матрицу Л (4-205) для уравнения состояния

У(к -t- 1) = Лу(к) (4X 1) (4-206)

.Можно систематизировать нахоадение переходной матрицы состояния