gAf ПОЧТИ так же просто, как к для диагональной матрицы. Скалярное уравнение состояния системы (4-206) полностью не связано с другими уравнениями. Поэтому решение для (к) имеет вид

Запишем третье уравнение состояния

(4-207)

Уз(к -i- 1) = ХУз(к) + у(к) (4.208)

Так какуа{к) уже задано формулой (4-207), уравнение (4-206) решается просто и дает результат

Уз(к) = Хуз(0) + кх14(0) (4-209)

По аналогии второе уравнение состояния

У2(к + 1) = ХУ2(к) -ь уд(к) (4.210)

Подставляя уз{к) из формулы (4-209) в уравнеаие (4-210) и решая его, имеем

У2(к) = Ху2(0) + кхк-Уз(О) + 2? хЬ-2у(0) (4.211)

Продолжая этот процесс, найд,ем решение для yj (к):

У1(к) = Xfy,(0) + кХ-1у2(0) + Мк 1)х-2уз(0) + к(к-1)(к-.2) -к-з

(4-212)

В матричной форме переходное уравнение состояния запишем в виде

у(к) = (к)у(О)

(к) = Xj

(4-213)

(4-214)

В общем случае, если Xj имеет кратность т, переходная матрица состоя-: ния имеет форму

кХ-1

2! 1

к(К-1)...(к-п+2) .

(п-1)! h

к(к-1),-2 21 1

(4-215)

Определим теперь матрицу Р, которая преобразует матрицу А с кратными собственными значениями в каноническую форму Жордана. Матрицу Р, как и выше, вычисляем с использованием собственных векторов матрицы А (4-199). Собственные векторы, соответствующие собственным значениям матрицы А, находим обычным образом. Собственные векторы, соответствующие форме Жордана порядка т, находим с использованием клетки Жордана, имеющей вид

(4-21,6)

(т X т)

В этом случае с учетом Л = Р АР должно выполняться следующее соотношение:

[Pi Ра - Р ]Л = A[pj Р2 ... р]

которое раскрываем по столбцам в виде

Pi + P2 = Рг Рг + Рз = -Рз

(4-217)

(4-218)

Pm-l + Рш = Ар Преобразуя эти уравнения, получим:

(X.I-A)Pi==0 (X.I - А)Р2 = -Pi (X.I-А)рз = -Р2

(4-219)

(у-А)Р = -Рш-1 Из этих уравнений определяем обобщенные собственные векторы pi, Рг> . Рга-

4.13. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРЕХОДНОЙ МАТРИЦЫ СОСТОЯНИЯ

Выше были представлены переходная матрица состояния цифровой системы управления и ее частные случаи. Имеет смысл подчеркнуть отличие определений переходной матрицы состояния для двух различных условий.

ДляимпуЛьсной CHCTeivibi

i(t) = Ax(t) + Bu(t) (4-220)

u(t) = ц(кТ) кТ < t < (к -(- 1)Т (4-221)

переходная матрица состояния дискретной системы

х[(к -И)Т] = 0(Т)х(кТ) + е(Т)и(кТ) (4.222)

равна

Т) = еТ = (t) (4-224)

в последней формуле Ф(1) есть переходная матрица состояния для матрицы А. Выше бьшо подчеркнуто, что в обшем случае Ф(МТ) не совпадает с Ф(?) при замене t на NT. Поэтому в импульсных системах, описываемых уравнениями (4-220) и (4-221), для нахождения переходной матрицы состояния Ф(NT) необходимо найти Ф(0, заменить t на Тш затем воспользоваться выражением (4-223). Задача, по сушеству, состоит в нахождении переходной матрицы состояния Ф(?) для матрицы А. Для цифровой системы управления

переходная матрица состояния определяется как 0(N)= А = А-А-А-А... А

х(к +1)= Ах(к) + Ви(к) (4-225)

у . . (4-226)

Задача нахождения 0(/V) состоит только в умножении матрицы А саму на себя N раз.

Рассмотрим вначале два различных метода вычисления Ф(NT): при заданной матрице Ф(Т) для импульсной системы и при заданной матрице А для цифровой системы.

Метод, основанный на теореме Кэли-Гамильтона. При заданной матрице Ф(Т) или А выражение (4-223) или (4-226) можно вычислить с использованием теоремы Кэли-Гамильтона.

Теорема утверждает, что каждая квадратная матрица должна удовлетворять своему характеристическому уравнению, т.е. в обшем случае матрица А может быть записана в виде

А= уаА (4-227)

для любого положительного, целого числа Л, где п - размерность матрицы А; ар. коэффициенты характеристического уравнения для матрицы А. Аналогично, если задана матрица Ф(Г)