0(NT)= [0(T)]N=YaNi[0(T)] (4-228)

где Од - - коэффщиенты характеристшеского уравнения матрицы Ф(Т).

Пример 4.7. Для иллюстрации применения теоремы Кэли-Гамильтона предположим, что матрица А в уравнении (4-225) задана в виде

3 2 (4-229)

2 3

Характеристическое уравнение для матриць! А

\Х1-А\ = \-6Х + Ъ = 0 (4-230)

Применяя теорему Кэли-Гамильтона, получаем матричное уравнение

а2 - 6А 51 = О (4-231)

из которого имеем

а2 = 6А-51 (4-232)

Таким образом, матрицу А можно вырамть через матрицу А. Суть теоремы Кэли-Гамильтона состоит в том, что матрицу А можно выразить как алгебраическую сумму матриц А~. aJ~, . . ., А и в результате последовательного применения теоремы матрицу Ав конечном счете выразить через матрицу А. Поэтому

дЗ = А А = А(6А - 51) = бА - 5А = 6(6А - 51) - 5А = Я1А - 301 (4-233) Аналогично можно показать, что

А = 156А -1551 , (4-234)

Продолжая подобный итерационный процесс, можно вычислить матрицу А для сколь угодно большого N.

Метод, основанный на z-преобразовании. Для импульсной системы (4-222) переходная матрица состояния Ф(7) выражется в терминах z-преобразования в соответствии с (4-110):

[zI-0(T)]-iz

(4-235)

Для цифровой системы управления (4-225)

0(N) = 3f-l[(zI-A)-lz] (4-236)

В этих двух уравнениях вычисление переходной матрицы состояния включает обращение матрицы и затем нахождение обратного г-преобразования. Для системы второго порядка эти операции легко выполнить аналитически. Однако для систем более высокого порядка количество выполняемых вычислений может быть непомерно большим.

Задачу нахождения (zl - А)~ для заданной матрицы можно упростить с помощью описанного метода следующим образом.

Положим

(zI-A)-iz=F (4-237)

Тогда

zF = zl -Ь AF

(4-238

Умножая обе части последнего выражения слева на zl + А, после упрощения имеем

, = AF + zA+ z4 (4-239)

Снова умножая обе части последнего уравнения на z I + А, после упрощения получим

zF = AF.-b zA2 л- z2 a л- z4 (4-240)

Продолжая процедуру, запишем следующие упрощения:

zF = AF + zA + z2a2 + zA + zH (4-241)

zF = A F -b zA -l Л- z2An-2 ... -b z -iA -b z I

Таким образом, получим следующие выражения:

ajF= aF

agZF = agAF Л- azl

azF = agAF + azA + azH

azF = aAF -H a4zA2 -1- a4z2A + azH

(4-242)

(4-243)

a z-lF = a A -1f + a zA -2 + a zM- + ...+ az -A + az-4.

n n n n n n

z F = A F + zA -l + z2a -2 + ...+ z -1a + z I

где di, 02, . . .,an - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А;

Z а jz= О (a j = 1) (4.244)

Просуммировав левые и правые части выражения (4-243), получим

i=0 i=0 i=l i=2 (4245)

+ + Ё aijA- lz - Ч- z I i=n-l гдед + 1 = 1.

В соответствии с теоремой Кэли-Гамильтона первый член в правой части последнего уравнения есть нулевая матрица. Поэтому из выражения (4-245) получаем

F = -- (4-246)

(4-247)

Izl- AI

Числитель последнего выражения есть не что иное, как матрица [Adj(zi - - A)]z.

После вычисления F по формуле (4-247), определяем матрицу

N) = [F] (4-248)

Для нахождения Ф(МТ) в соответствии с (4-235) просто заменяем матрицу А на Ф(Т) в выражении (4-247).

Пример 4.8. Предположим, что цифровая система управления, описываемая уравнением (4-225), имеет матрицу

(4-249)

Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид

1М -А\ = \ + + их + 6 = (X - 1)(Х - 2)(Х - 3) = О (4-250)

Коэффициенты характеристического уравнения равны 04 - 1, сз = 6, сг = 11 и U1 = 6.

Используя выражение (4-247), запишем матрицу в виде 3

F = (zI-A)-lz = i=

Izl - А!

azI + (agl + a)z + (aI + аА + aA)z (4 251)

IzI-AI

1одставляя коэффициенты 04,03,02,0 и матрицу А в последнее выражение, имеем

(4-252)

1редставление выражения (4-252) в виде суммы элементарных слагаемых дает

2(z -1)

2(z-3)

(4-253)