Для чисто цифровых систем, заданных уравнениями

х(к;,1) = A(kj)x(kj) + B(kj)u(k.) (4 277) можно представить сопряженную систему в виде

у(к; ) = А*(к;)у(к;) + В(к;)и(к.) (4.278)

Определяя сопряженную систему как систему, однородная часть которой удовлетворяет условию x(A:j)-y(A:,) = const, можно найти необходимую связь между К{к{) и A*(A;;). Предположим, что А{к{) и k*{ki) певы-рождены. Далее, запишем скалярное произведение x(/f,) и уС/с/) :

х(к;)у(к;) = x(kjj )IA(kj)]-MA*(kj)]-V(kil) (4.279)

Поскольку скалярное произведение полагается постоянным, справед-

ливо Р

x(kj)y(k.) = х(к; )y(k;j) (4-280)

Отсюда

А*(к;) = [А(к;)] -1 = [А-1(к;)] (4-281)

Кроме того, переходная матрица состояния для h.{ki) имеет вид [см. уравнение (4-76)]

,(k,k ) = i(Vi)A(V2)-A(ko) Ц>ко (4.282)

(l Ц=ко

Переходная матрица состояния для A*(ki) *(к к,)= А*(к,.,)А*(Ц,2)...А*(к ) к,>к

С I к; = кр

На основании выражения (4-281) приходим к следующему соотно-шшию:

*(к;,кр) = 0(ко,к;) (4-284)

которое справедливо для всех /с,- и /со и совпадает с (4-276).

4.15. СВЯЗЬ МЕЖДУ УРАВНЕНИЯМИ СОСТОЯНИЯ

И РАЗНОСТНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Выше обсуждались уравнения состояния и их решения для линейных цифровых систем. Хотя обычно можно записать уравнения состояния непосредственно по структурной схеме системы, на практике, как правило цифровая система описывается вначале разностным уравнением высокого порядка или соответствующей передаточной функцией. В этой связи полезно научиться записывать уравнения состояния по виду разностного уравнения или передаточной функции.

Процедура получения уравнений состояния по передаточной функции называется декомпозицией. Она рассмотрена в п. 4.18, где показано, что

в общем случае проще вначале преобразовать разностное уравнение высокого порядка в передаточную функцию, а затем применить какой-либо метод декомпозиции для получения уравнений состояния. Здесь установим некоторые основные закономерности в определении уравнений состояния систем высокого порядка.

Предположим, что одномерная линейная цифровая система описывается следующим разностным уравнением и-го порядка:

(4-285)

c(k-f- п) 4- ас(кЧ- п- 1) + а с(кЧ- п- 2) + . .

... -t- а2с(к+ 1) + ас(к)= г(к)

где с(к) - выходная переменная, а г{к) - входная. Коэффициенты с Й2, . в действительности могут зависеть от времени.

Задача состоит в замене уравншия (4-285) п уравнениями состояния и уравнением выхода. Первый шаг состоит в определении переменных состояния как функций выходной переменной с{к). Хотя набор переменных состояния этой системы не является единственным, наиболее удобно определить их следующим образом:

Xj(k) = с(к)

Х2(к)=с(к+ 1)= х(к-И)

(4-286)

х (к) = с(к п - 1)

После подстановки соотношений (4-286) в уравнение (4-285) и преобразования уравнения состояния принимают вид х(к+ 1)= Х2(к)

X2(k-t- 1)= Хз(к)

. (4-287) Vl -l(k)-a xjk)+r(k)

х (к-И) =-ах(к) а2Х2(к) - . Уравнение выхода имеет простой вид

с(к)=х,(к) (4-288)

Для стационарных систем уравнения (4-287) записываются в компактной форме

х(к +1)= Ах(к) + Вг(к) (4-289)

где х{к) - (иХ1)-мерный вектор состояния; г(к) - скалярная входная переменная. Матрица коэффициентов имеет вид

(4-290)

(пХ п)

(ПХ1) -

Уравнение выхода в векторно-матричной форме имеет вид

с(к) = Dx(k) (4-292)

D= [1 О О ... 0] (пХ 1) (4-293)

Уравнение состояния (4-289), матрицы коэффициентов которого А и В имеют типовой вид (4-290) и (4-291), называется канонической формой фазовой переменной.

Далее мы покажем, что система, представленная в канонической форме фазовой переменной, имеет некоторые специфические полезные свойства, которые облегчают анализ и проектирование линейных цифровых систем.

Следует заметить, что разностное уравнение (4-285) не является уравнением общего вида, поскольку в его правой части отсутствуют члены высокого порядка, связанные со входным воздействием. В общем случае, если слагаемые, подобныег(к + 1), г(к + 2), . . ., присутствуют в правой части уравнения (4-285), процедура определения переменных состояния уже не будет столь очевидной, как показано выще [см. уравнение (4-286) ]. В подобной ситуации удобнее вначале преобразовать разностное уравнение высокого порядка в передаточную функцию, а затем для получения уравнений динамики воспользоваться декомпозицией.

4.16. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ ФАЗОВОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В п. 4.15 указывалось, что линейная одномерная система относится к канонической форме фазовой переменной, если ее матрицы коэффициентов А и В имеют форму (4-290) и (4-291). Система в канонической форме фазовой переменной имеет свойства, которые облегчают некоторые процедуры анализа и синтеза. Следующая теорема показывает, что собственные значения системы в канонической форме фазовой переменной всегда могут быть заданы произвольным образом с помощью обратной связи по состоянию.

Теорема 4.1. Пусть уравнения состояния линейной цифровой системы представлены в виде

х(к -f- 1) = Ах(к) -Ь Ви(к) - (4-294)