(4-295)

(пХ 1)

(4-296)

Собственные значения системы могут быть произвольно заданы с помощью обратной связи по состоянию

u(t) = -Gx(t)

G= [gj g2 ... g ]

(4-297) (4-298)

gi,g2, En - действительныеконстанты.

Структурная схема, изображающая обратную связь по состоянию, показана на рис. 4.4.

Доказательство. Подставляя уравнение (4-297) для входного сигнала u{t) в (4-294), получаем уравнения состояния замкнутой системы

х(к -I- 1) = (А - BG)x(k) (4.299)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет ввд

lXI-A-bBGl= 0 (4-300)

Подстановка выражений (4-295), (4-296) и (4-298) в уравнение (4-300) даег

О О О ... О

о о ... О

-1 о ... о

............................................... о

о о о о о ... -1

gl 32 + gg

(4-301)

Рис. 4.4. Линейная цифровая система с обратной связью по состоянию

Это характеристическое уравнение приводится к виду

X + (a + g )X -i + (a .i + g i)V ... + + g2)X+ (а + gi)= О

+ ...

(4-302)

Поскольку каждый коэффициент усиления обратной связи входит только в один коэффициент последнего уравнения, очевидно, что, если собственные значения характеристического уравнения замкнутой системы выбрать произвольно, т.е. произвольно задать коэффициенты уравнения (4-302), мы получим п линейно независимых уравнений для определения коэффициентов усиления обратных связей ?i, . . ?и

Если система не представлена в канонической форме фазовой переменной, то существует преобразование подобия, которое преобразует матрицы А и В в соответствующую форму (4-295) и (4-296). Следующая теорема доказывает это положение.

Теорема 4.2. Пусть уравнения состояния линейной цифровой системы представлены в виде

х(к -Ь 1) = Ах(к) + Ви(к) (4-303)

где х(А:) - мерный вектор; и(к) - скалярная входная переменная; А-некоторая матрица коэффициентов размерности и X и; В - некоторая матрица размерности и X 1, тогда

S= [В АВ АВ ... А -В]

(п X п)

(4-304)

есть невырожденная матрица. Существует невырокденное преобразование у(к) = Мх(к) (4-305)

х(к) = М-(к) (4-306)

которое преобразует уравнение (4-303) к канонической форме фазовой переменной

y(k-f- 1)= Ау(к)-Н BjU(k)

(4-307)

-а -а -а.

(4-308)

1 =

(4-309)

(4-310)

(n X n)

Mj = [0 О ... 1][В АВ АВ ... A-BJ-l (4-311)

Доказательство. Предположим, что матрица М записана в виде

(п X п)

(4-312)

(4-313)

Приравнивая первые строки обеих частей выражения (4-305), получаем

yj(k)=MjX(k) (4-314)

Увеличение на единицу аргумента (времени или шага) последнего уравнения дает

у(к-(-1)= Mix(k+ 1) (4-315)

Подставляя уравнение состояния (4-303) в выражение (4-315) с учетом (4-308), имеем

у(к -1- 1) = MjAx(k) + MjBu(k) = у(к) (4-316)

Поскольку в соответствии с (4-305) у (к) является функцией только х(к), то в выражении (4-316) MiB = 0. Таким образом.

yi(k+ 1)=У2(к) = МАх(к)

(4-317)

Матрица М задается в виде Ml