Вновь уБел 1Ч11ва;с на единицу время или шаг в выражении (4-317) получаем

у. (к Л- 2) = УдСк -f- 1) = yg(k) = М, Аж(к -1- 1) = МА2х(к) (4-318)

где уч:гено, что Mj АВ = 0.

Псзторение данной процедуры л - 1 раз дает в итоге

-t- 1) = у (к) = Mj А -1х(к) (4-319)

с yiexoM l&iA ~B = 0. Поэтому, объединяя полученные результаты, имеем

У(к) =

Таким образом, для произвольного х(к)

х(к)

н, кроме того, матрица Mj удовлетворяет условию

С учетом зыражеиж (4-305) записываем j(k - I] =- Mx(i; 1- l)=MAs(k) I- МВы(к) =

= МАМ у(к) -I- iMBu(k) Сравнивая выражения (4-323) и (4-307), получаем

А,= МАМ

Тогт, с уеехог.; внргжекиг (4-321) запишем 1

-1 ~

(4-320)

(4-321)

Поскольку Ml - матргща размерностью 1X и, выражение (4-326) запишем н виде .

Mj[B АВ AB ... A -B] = [0 0 ... 1] (4-327)

Отсюда находим

М- = [О О ... 1][В АВ АВ ... А -1в]-1 = (4-328)

= [0 0 ...

если матрица S невырождена. Ниже будет показано, что условие невырожденности матрицы S является условием полной управляемости по состоянию. После того как Mi определена в соответствии с (4-328), находим матрицу М по формуле (4-321).

Теорема 4.3. Две системы, описываемые уравнениями состояния (4-303) и (4-307) и связанные преобразованием подобия (4-324) и (4-325), имеют одинаковые собственные значения.

Доказательство. Собственные значения системы (4-303) являются корнями характеристического уравнения

Л!-А= 0 (4-329)

Для системы (4-307) характеристическое уравнение имеет вид

М - Aj I = М - МАМ- I = О (4-330)

Уравнение (4-330) перепишем в виде

1ЛММ-1 - МАМ- 1=0 ,. (4-331)

М(Л1 - А)М- I = О (4-332)

Так как определитель произведения матриц равен произведению их определителей, получаем

М(Л1 - А)М-11 = IMIIXI - AIIM-11 = IXI - А (4-333)

Это доказывает, что характеристические уравнения двух систем идентичны, а следовательно, долхшы быть идентичны и их собственные значения.

Смысл теоремы 4.3 состоит в том, что для любой цифровой системы с одним входом и уравнением состояния вида (4-303) собственные значения могут быть выбраны произвольным образом с помошью обратной связи по состоянию и(к) = - Gx(/:), если матрица S в выражении (4-304) невырож,цена. Кроме того, можно преобразовать систему к канонической форме фазовой переменной с тем, чтобы упростить вьмисление постояв-ных коэффициентов усиления обратной связи и(к) = - Gj у(А:) преобразованной системы по заданным собственным значениям. Коэффициенты усиления обратной связи исходной системы окончательно определяются из соотношения

G=G,M (4-334)

Для общего многомерного случая необходимое и достаточное условие произвольного задания собственных значений системы с обратной связью по состоянию заключается в том, что матрица 8(и X пг) должна иметь ранг п. Строгое доказательство этого условия математически сложно и здесь не приводится.

Следующий пример иллюстрирует метод синтеза по заданным собственным значениям с использованием канонической формы фазовой переменной.

Пример 4.10. Предположим, что уравнения состояния цифровой системы второго порядка представлены в виде

х(к -I- 1) = Ах{к) + Ви(к) (4-335)

(4-336)

Требуется найти матрицу коэффициентов G для обратной связи по состоянию и(к) = - Сх(к), такую, чтобы собственные значения замкнутой системы были равны: Л.1 = 0,4 и Л.2 = 0,6. Собственные значения матрицы А равны л. = 1, 1. Таким образом, обратная связь по состоянию располагает эти собственные значения внутри единичной окружности на z-плоскости, делая систему устойчивой.

Хотя элементы матрицы G можно определить, приравнивая коэффициенты требуемого характеристического уравнения

(Л - 0.4)(Л - 0.6) = - X + 0.24 = О (4-337)

к коэффициентам уравнения

M-A + BGI = 0 (4-338)

преобразуем вначале систему к канонической форме фазовой переменной. Из выражения (4-304) находим матрицу

S = [В АВ] =

1 О 1 1

которая является невырожденной. Тогда Mj = [0 l}S- = [-l 1]

Для системы в канонической форме имеем у(к +1) = Ау(к) + Ви(к)

Aj = МАМ =

О -1

Bj = МВ =

Характеристическое уравнение преобразованной замкнутой системы IM-Aj -bBjGj = 0

есть матрица обратной связи. Раскрывая уравнение (4-345), получаем X + (g-2)X-b(gJ-H) = 0

(4-339)

(4-340) (4-341)

(4-342) (4-343)

(4-344)

(4-345) (4-346)

(4-347)