Ряс. 4.13. Диаграмма состояния для выражения (4-392) , полученная параллельной декомпозицией

тавшиеся имеют кратность п слагаемые запишем

где п > т. Предположим, что одина- ковые нули и полюсы в D{z) отсутствуют - и что среди п собственных значений i являются различными, а ос-i, тогда с помощью разложения иа простые

D(z)= £

чк-i

(4-390)

где первое слагаемое соответствует различным собственным значениям dji, к = 1,2, . . ., г, а второе - кратным, причем через di+ i = cf, + 2 ~ = d обозначено собственное значение кратности и - i.

Для изображения диаграммы состояния перепишем выражение (4-390) в виде

D(z)=

К, Z

kti 1 + dz- k=7+l (1 + dz-1 f-

(4-391)

Передаточная функция D(z) теперь представлена в виде диаграммы состояния, которая состоит из основных блоков, изображенных на рис. 4.12, б, соединенных параллельно. Важно отметить, что параллельная декомпозиция приводит к системе уравнший состояния в канонической форме при различных собственных значениях или в общем случае к системе в жордановой канонической форме. Следующий пример иллюстрирует основные особенности параллельной декомпозиции.

Пример 4.13. Рассмотрим передаточную функцию

D(z) =

C(z) 10(z-f z-I-1) R(z)

z2(z-0.5)(z-!0.8)

(4-392)

собственные значения которой равны z = 0; 0; 05; 0,8. Необходимо преобразовать эту передаточную функцию с помощью параллельной декомпозиции и затем определить уравнения динамики данной системы.

В результате разложения D(z) на простые слаганные имеем

п -233.33 1 127.08 , 25 , 106.25 > ~ Z 0.5 Z - 0.8 Л z

Передаточная функция D(z) реализуется параллельным соединением звеньев первого порядка, представленных на рис.4.13.

Следует заметить, что, поскольку £(z) имеет четвертый порядок, иа диаграмме должно быть только четыре блока задержки. На рис. 4.13 изображена также реализация минимального порядка для заданной передаточной функции. Уравнения состояния системы записываются по известной методике. В результате имеем

r(kT)

(4-393)

что представляет собой каноническую форму Жордана. Уравнение выхода записывается в виде

с(к) = [-233.33 127.08 1 0]х(к) .. (4-394)

4.19. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Импульсные системы управления обычно содержат как цифровые, так и аналоговые элементы. Эти два типа элементов соединяются вместе через устройства выборки и хранения. В качестве-иллюстрации на рис. 4.14 показана структурная схема импульсной системы управления. Система состоит из цифрового регулятора, экстраполятора нулевого порядка и непрерывного процесса. Покажем, каким об>азом к цифровым системам такого типа можно применить методы диаграмм состояния и анализа в пространстве состояний. Однако перед получением диаграммы состояния для всей системы, изображенной на рис. 4.14, необходимо определить диаграм-му состояния экстраполятора нулевого порядка.

Диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка. Обозначим входной и выходной сигналы экстраполятора нулевого порядка через e*(t) и h{t) соответственно. Тогда для интервала kT<:t<{k + 1)7имеем

h(t) = е(кТ) (4-395)

Вычисляя преобразование Лапласа от обеих частей последнего выражения, получаем

S (4-396)

для kT<:t<{k+ 1)Т. Поэтому диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка состоит из единственной ветви, соединяющей узлы е{кТ) иЯ(х) , как показано на рис. 4.15. Коэффициент передачи ветви равен s .

Пример 4.14. Рассмотрим импульсную систему управления, изображенную на рис. 4.16. Необходимо построить диаграмму состояния и записать уравнения состояния для этой системы. Диаграмма состояния для передаточной функции объекта управления

<>ф+Т) (4-397)

полученная методом непосредственной декомпозиции, изображена на рис. 4.17.

h(t)

Процесс

c(t)

Рис. 4.14. Импульсная система управления

е(т tl(s)

Рис 4.15. Диаграмма состояния экстраполятора нулевого порядка для кТ < < t < (к + 1)Т

h(t)

Рис. 4.16. Импульсная система управления

Диаграмма состояния всей системы в целом представляет собой соединение диаграммы состояния, изображенной на рис. 4.17, и диаграммы состояния экстраполятора нулевого порядка с учетом соотношения

е(кТ) = г(кТ)-с(кТ) =r(kT)-Xj(kT) (4-398)

Кроме того, полагая io = кТи

h(kT*) = h(t) = е(кТ) kT<t<(k-f,l)T (4-399)

получим полную диаграмму состояния системы, представленную на рис. 4.18.

Переходные уравнения состояния в векторно-матричной форме относительно изображений записываются непосредственно по виду диаграмм состояния с использованием формулы Мэсона:

s(s + 1)

s + 1

Xi(kT) XgCkT)

8(8 -f 1)

S(S + 1)

r(kT)

(4-400)

р.лякТ<1<{к+ 1)T.

Вычисляя обратное преобразование Лапласа от обеих частей последнего уравнения, получаем

(t - кТ) - 1 -f-e-(*~> l e-(t-kT)

r(kT)

(4-401)

l-e

дляЛГ* f < (fc+ 1)Г.

Если значения переменных состояния представляют интерес только в момент квантования, то полагаем t= {к + 1)Т. Тогда уравнение (4-401) принимает вид

Т -1 + е-

г(кТ) (4-402)

Уравнение (4-402) запишем аналогично уравнению (4-83) :

i(tj) X,(ф х[(к + 1)Т] = </(Т)х(кТ) + е(Т)г(кТ) (4-403)

\ /<,i с1 г/г\ Рис. 4.17. Диаграмма состояния для переда-

X,(S) X,(S) Ш) , , йфу циРс(8) = 1/П(8-Ц)1