r(fiT) е(кГ) ЦкП nis)

(s) X,(s) C(sl

Рис. 4.18. Диаграмма состояния для импульсной системы управления, изображенной на рис. 4.16.

Для периода квантования Г = 1с и единичного ступенчатого входного воздействия r(ty = Ugit) имеем

в(\) =

0.632 0.632 -0.632 0.368

0.368 0.632

Тогда

[zl-0(l)]-lz =

Z + 0.632

Z-0.632 -0.632

0.632 Z - 0.368

Z-0.368 0.632

-0.632 Z - 0.632

(4-404) (4-405)

(4406)

т = Г [[zl-0(l)]-lz

e--23k( o.378sin0.88k + cos0.88k)

-fe-°-23ksin 0.88k e-°-23(-0.786sin0.88k + cos0.88k)

Кроме того,

0[(Ы-к-1)]в(1) =

(4407)

(4408)

x(N) =

g-0.23(N-k-l)jQ 493gj 0 88(f l) + 0.368cos0.88(N-k-l)l

g-0.23(N-k-l)j Q 8g5gj o.88(Nk-l) + 0.632cos0.88(N-k-l)] Поэтому дискретное уравнение переходных состояний систеглы имеет вид

e-0-23N( o 378gin0.88N + cos0.88N) e-°-23Nsin0.88N

g-0.23Ngj Q ggf e°-2(-0.786sin0.88N + cos0.88N)

g-0.23(N-k-l)jQ 4933Jn0.88(N-k-l) + 0.368cos0.88(N-k-l)]

Xj(0)

IViaN= 1,2,3,

g-0.23(N-k-l)j o 865sin0.88(N-k-l) + 0.632cos0.88(N-k-l)]

(4409)

Рис. 4.19. Диаграмма состояния для D(z) = = (а,+a,z )/(l + b.z-)

Пример 4.15. Проведем анализ в пространстве состояний импульсной системы с цифровым регулятором. Рассмот-biyXsfi) 1/(г) Р структурную схему, изображенную Х(КТ) u(hT) а рис. 4.14. Цифровой регулятор, который может быть реализован на основе ЭВМ, описывается передаточной функцией ,-1

е(кТ)

D(z) =

Bg -I- ajZ

l + biZ

(4-410)

a G(s) задается выражением (4-397).

Необходимо изобразить диаграмму состояния и получить переходные уравнения состояния ртя рассматриваемой системы.

Применяя к?(7) схему непосредственной декомпозиции, имеем

() (1 -I- bjZ-l)X(z)

Положим

U(z) = (82 + ajZ-)X(z)

E(z) = (1 И- bjZ-)X(z) В соответствии с выражением (4-413) имеем .-1-<

(4411)

(4-412) (4-413) (4-414)

X(z) = E(z) - bjZ-X(z)

Диаграмма состояния для цифрового регулятора представлена на рис. 4.19 с использованием выражений (4-412) и (4-414).

На основании рис. 4.19 запишем уравнения динамики, характеризующие D(z) в виде

хз[(к+ \)Т\ = е(кТ) - bix-i(kT) (уравнениесостояния); (4-415)

uikT) = a2e(kT)+ (а - aibi)x3(kT) (уравнениевыхода). (4-416)

Диаграммы состояния для G(s) и экстраполятора нулевого порядка бьши получены в примере4.14. Диаграмма состояния всей системы представлена на рис. 4.20.

Применяя формулу Мэсона для выходных узлов Xi(s) и Xiis) (см. рис. 4.20), получаем

а t а, - a bi

l(> = Т - о ifkT) + ;7~v X (кТ) -I- - Хз(кТ) +

s2(s -I- 1)

г(кТ)

(4-417)

rlht) е(кТ)

Уг(б) X,(s) Cfs)

Рис. 4.20. Диаграмма состояния для импульсной системы управления, изображенной на рис. 4.14

= i(iTl) -l(T) + Х2(кТ) + Хз(кТ) + г(кТ)

(4-418)

Заметим, что в этом случае xi(kT), xikT), х{кТ) и гфТ) рассматриваются в качестве входных сигаалов. Примшяя формулу Мэсона также и к хз(Л + \)Т, имеем

хз[к -I- 1)Т]= -Xi(kT) - bjXgCkT) -I- г(кТ)

Выражение (4-419) совместно с (4-417) и (4-418), если для последних найдеио обратное преобразование Лапласа, при замеие f на (к л- 1)7 образует дискретные уравнения состояния системы

agCT-l + e-) agd-e- )

г(кТ)

(4420)

Уравнение выхода имеет вид с(кТ) = xi(kT). Теперь можно решить уравнение (4420) с использованием метода, описанного в примере 4.14.

4ЛО. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ МЕЖДУ МОМЕНТАМИ КВАНТОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОНЯТИЯ СОСТОЯНИЯ

Метод пространства состоян.ий может применяться для определения реакции систем между моментами квантования. Он представляет собой альтернативу методу модифицированного z-преобразования.

На основании (4-46) находим вектор х(Г) для любого t>toB виде

x(t) = 0(t - to)x(to) +\ 0(t - 7)Bu(r)dr (421)

если х(о) и u(t) определены для t>to. При условии, что u(f) - константа для to<T<t,загаинем выражение (4421) в виде

x(t) = 0(t - to)x(to) -I- Bit - to)u(to)

(4422)

u(t )=u(7) to<r<t

Если теперь требуется определить реакцию между моментами квантования, положим