eft)

r(t)=u(t),

Т ФиксторЛ Фимтар

r(tj=u(a

C(t)

c(t)

Фиксатор -

Рис. 5.1. Непрерывная система управления (а) и цифровая модель непрерывной системы с фиктивными устройствами выборки-хранения (б)

Рис. 5.2. Непрерывная система управления (а) и цифровая модель непрерывной системы с квантователем и фиксатором, введенными в цепь обратной связи (б)

функцию фиксирующего устройства, изображенного на рис. 5.1, . Тогда дискретная передаточная функция цифровой модели имеет вид

C(z) Gt,(z)GG(z)

R(z) 1 + GbG(z)Gj,Hj(z) -Ь Gb(z)GbG(z)Gj,H2(z)

Gh(z)= [Gj,(s)] GhG(z) = / [Gb(s)G(s)] GbHj(z)= /[Gj,(s)Hi(s)] GHgCz) = / [Gb(s)H2(s)]

(5-1)

(5-2) (5-3) (5-4) (5-5)

Хотя описанный метод цифрового моделирования в принципе прост, прежде чем приступить к его практической реализации, необходимо решить два важных вопроса. Первый касается выбора подходящего периода квантования фиктивных ключей. Период квантования непосредственно влияет на точность и время, необходимое для цифрового моделирования. Второй вопрос - проблема устойчивости. Выше подчеркивалось, что если непрерывная система устойчива, то ее цифровая модель не обязательно будет устойчивой. Фактически устройства выборки и хранения, как правило, неблагоприятно влияют на устойчивость системы. Поэтому при включении устройств выборки и хранения в устойчивую непрерывную систему важно, чтобы цифровая модель оставалась устойчивой.

Рассмотрим непрерывную систему, представленную на рис. 5.2, а. Цифровая аппроксимация системы может быть получена путем введения квантователя и фиксатора в цепь обратной связи, как показано на рис. 5.2, б. Для выходного сигнала цифровой модели г-преобразование записывается в виде

l + G,oG(z)

RG(z)= [R(s)G(s)] GhoG(z) = ? [Gj,o(s)G(s)] Для единичного ступенчатого входного сигнала имеем

RG(z) = Т

К(1 - e-P-STz

Ls(l+2s)J (z-l)(z-e-0-5T)

(5-6)

(5-7) (5-8)

.(5-9)

Предположим, что в качестве фиксатора используется экстраполятор нулевого порядка. Тогда получим

К(1 - е-- -) S 1 -I- 2sJ e-*- )

Подстановка выражений (5-9) и (5-10) в (5-6) дает

К(1 - e- -T)z

C(z) =

(5-10)

(5-11)

(z-l)[z-e- -5T+K(l-e-0-5T)]

Выбрав Т = 0,25 си полагая К = \, преобразуем последнее уравнение к виду

O.llSz

(>=(z-l)(z-0.764) (5-12)

Разлагая C(z) в ряд с помощью деления числителя на знаменатель, получим

C(z) = O.llSz-l -t- 0.207Z-2 -t- 0.276Z-3 + 0.329z-f-

-I- 0.369z- -I- 0.4z-® + 0.423Z- + 0.441z-4-

-I- 0.455z- 4- 0.466z-lf -I- 0.473Z-11 -I- 0.48z-2-f-

-I- 0.485Z-13 -I- 0.488z-l + ... (5.13)

Конечное значение с{кТ) равно 0,5. Очевидно, что цифровая модель является устойчивой.

Предположим, что фиксирующее устройство обеспечивает кусочно-линейную аппроксимацию, так что

Gh(s) =

gTs + е-Т - 2 Ts2

(5-14)

Тогда при Т = 0,25 сиК= I z-преобразование выходного сигнала цифровой системы имеет вид

C(z) =

O.llOSz

(z- l)(z- 0.778)

(5-15)

0.1 0.3

о 0,5 W 1.5 7,0 2,5 3,0 3,5

О 0,5 1,0 1.5 2,0 2,5 3.0 %с 6)

Рис. 5.3. Переходные процессы в системах, полученные путем цифрового моделирования:

а - Т = 0,25 с; б - Т = I с; 1 - для модели с экстраполятором нулевого порядка; 2-е (кТ) для модели с линейным экстраполятором; 3 - с (г) для непрерывной системы

Разложение выражения (5-15) в ряд дает

C(z) = 0.1108Z-1 + 0.197Z-2 + 0.264Z-3 -I- 0.316z- +

-I- 0.357z- -I- 0.388z- + 0.413z- -1- 0.433z-* +

-I- 0.447z- -I- 0.459z-lf -I- 0.468z-l -I- 0.475z-l2 -t-

+ 0.481Z-13 -I- 0.485z-l -I- ... (5-16)

Для сравнения на рис. 5.3, а представлены переходные функции непрерывной системы и цифровой модели с экстраполятором нулевого порядка и линейным экстраполятором. На рис. 5.3,6 представлены переходные функции для периода квантования в цифровой модели, равного 1 с. При этом, как и ожидалось, отклонение действительной переходной функции непрерывной системы от переходной функции цифровой модели увеличилось.

Рассматриваемая непрерывная система имеет первый порядок, поэтому она устойчива при всех конечных положительных значениях К. Однако цифровая модель может быть как устойчивой, так и неустойчивой в зависимости от значений К и Т. Например, для экстраполятора нулевого порядка при К = 2 максимальное значение периода квантования, обеспечивающее устойчивость цифровой системы, равно 2,2 с. При увеличении К до 10 критическое значение Т становится равным 0,404 с. При Т=2с z-преобразование выходного сигнала цифровой системы с лшейным экстраполятором имеет вид

0.632KZ

C(z) =

(Z - 1)[(1 -I- 0.368K)z -1- (0.264К - 0.368)]

(5-17)

Можно показать, что эта система устойчива для всех конечных положи-тельньис значений К. Поэтому в данном случае линейный зкстраполятор обеспечивает не только лучшую аппроксимацию, но и большую устойчивость цифровой модели системы.