Рис. 5.9. Кусочно-линейная аппроксимация, или интегрирование по методу трапеций

r(T}k г(т) Аппроксимация x(t)

Рис. 5.10. Входной сигнал интегратора X, (t) для системы, изображенной на рис. 5.2, и площади, представляющие собой результаты численного интегрирования по методам:

а - прямоугольников; б - прямоугольников с упреждением; в - трапеций

Уравнение состояния системы имеет вид

х[(к -I- 1)Т] = х(кТ) + г[(к -I- 1)Т] -I- -г(кТ)

(5-28)

Переходная функция цифровой модели системы, изображенной на рис. 5.2, а, в которой используется интегрирование по методу трапеций, представлена на рис. 5.8. Этот метод интегрирования дает худшие результаты по сравнению с методом трапеций, что объясняется характеристиками рассматриваемой системы первого порядка. Запишем входной сигнал интегратора в непрерывной системе в соответствии с рис. 5.1,а в виде

V , л 0-5S с/ л 0-5 Xi(s)=-R(s) =

Поэтому

Xj (t) = 0.5е *

(t>0)

(5-29)

(5-30)

Численное интегрирование Xi(r) с помощью трех описанных выше схем иллюстрируется рис. 5.10. Поскольку в сигнале (г) имеется скачок в момент г = О, то при интегрировании по методам прямоугольников с упреждением и трапеций результирующие площади содержат участки, предшествующие моменту f = 0.

Условия устойчивости. Поскольку цифровая модель исследуемой системы должна быть устойчивой независимо от метода аппроксимации, необходимо проанализировать влияние на устойчивость схем интегрирования, рассмотренных в п. 5.2. Для этого воспользуемся методом корневого годографа, обладающим простотой и наглядностью, применив его к замкнутой системе, изображенной на рис. 5.11. Хотя в общем случае действительное влияние на устойчивость различных схем численного интегрирования зависит от передаточной функции моделируемой непрерывной

fi(s) r\ Ш

Q(j Рис. 5,11. Простая система с интегратором

системы, простая система с интегратором, изображенная на рис. 5.11, даст возможность качественно оценить устойчивость моделирования в целом. Передаточная функция разомкнутой непрерывной системы имеет простой вид

G(s)= = j (5-31)

Отсюда при Т = О корень характеристического уравнения z = 1, а при Т = = оо г = 0. Корни располагаются внутри единичной окружности для всех значений Т в диапазоне от О до °°. Позтому непрерывная модель всегда устойчива. Для интегрирования по методу прямоугольников передаточная функция рассматриваемой системы заменяется на 7У(г - 1). Система является неустойчивой для Т>2.

Для интегрирования по методу прямоугольников с упреждением имеем

G(z)= (5-32)

Система вновь является устойчивой для всех значений Г от О до °°. Для интегрирования по методу трапеций получаем

G(z)=

Z-I- 1

(5-33)

Lz- и

и цифровая модель устойчива для всех конечных Т. Результатом этого анализа является вывод о том, что интегрирование по методу прямоугольников, как правило, наихудшим образом влияет на устойчивость системы.

Известны и более сложные схемы численного интегрирования, например методы Симпсона. Однако соответствующие передаточные функции имеют высокий порядок, что вызывает серьезные проблемы, связанные с устойчивостью моделей. Поэтому применительно к системам управления методы интегрирования высокого порядка используются редко.

5.4. ЦИФРОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ z-ФОРМ

Неудобство рассмотренных выше способов численного интегрирования для цифрового моделирования состоит в том, что в передаточной функц системы вначале должны быть в явном виде выделены интеграторы, которые затем заменяются схемами численного интегрирования. Упрощенная процедура основана на использовании z-форм. Метод z-форм, рассматриваемый ниже, является более простьин в связи с тем, что имеется возможность использовать непосредственно передаточную функцию непрерывной системы в области для преобразования ее в эквивалентную дискретную передаточную функцию в z-области.

Jll) C+JCO

s-ппоскость JUs

Рис. S.12. Путь интегрирования для формулы (5-35)

Предположим, что имеется непре- ----

рывный сигнал Тогда g(i) и его изображение по Лапласу G(s) связаны соотношением

G(s) = g(t)etdt (5.34)

g(t)= 2/ 0(8)08 (5-35)

Если сигнал g(t) квантуется по времени с периодом Т, то дискретный сигнал описывается выражением

-4-

C-JDO

(5-36)

g*(t)= X g(kT)6(t-kT) к=0

(Йг) (5-37)

а контур Г представляет собой окружность на плоскости z, описьтаемую уравнением \z\ = еТ Интеграл (5-35) вычисляется вдоль линии, изображенной на рис. 5.12. Разделим путь интегрирования от с - /°° до с + /°° на s-плоскости на три части, как показано на рисунке. Тогда выражение (5-35) может быть записано в виде

g(t) = /. G(s)e. ds-b.i/ G(s)e. ds-b

C-J*

c-jojg/2

-b Г G(s)e* ds

(5-38)

где ojj = гтг/Г.

Если период квантования достаточно мал, то g(i) приближенно описывается соотношением

g(t)i

.c+jojg/2

G(s)e* ds

(5-39)

Заменяя г на АгГ и обозначая правую часть последнего выражения как gj (7), имеем

c+ju /2

- g(kT)gA(kT)=2 G(s)eTsds (5-40)

Поскольку S и z связаны соотношением

S = In Z

(5-41)