Таблица 2.3

Десятичное целое число

Двоичное число

Двоичный код целого числа

Бит знака

СБ (Х2)

МБ (XI)

-3 -2 -1 -О +0

+2 +3

111 НО 101 100 ООО 001 010 011

1 1 1 1

О О О

О О О

о 1 1

Если первый бит 3-разрядного слова используется как бит знака, то наибольшее целое число, которое может быть представлено этим словом, есть 2 ~ 1 = 3, а наименьшее есть - (2 ~ 1) = -3. Любое п-рязрядное слово с битом знака может представлять любое число в интервале между 2 - 1 и- (2 ~ 1) включая нуль. Числа, которые можно представить 3-разрядным словом с битом знака, приведены в табл. 2.3. Заметим, что в этом случае нуль представляется дважды, +0 и -0. Однако, трехразряд- ное слово определяет восемь различных состояний как и в случае, показанном в табл. 2.1.

Подобным образом бит знака может быть использован для представления дробного числа или дроби. Числа, которые могут быть представлены п-разрядным словом с битом знака и т разрядами для дро&той части (т бит после двоичной запятой ), лежат в интервале меаду (2 ~ -

1)2-

Представление чисел в форме с фиксированной запятой имеет серьезные недостатки, вызванные ограниченным диапазоном представляемых чисел и жестким расположением двоичной запятой . Обычно, когда перемножаются два больших числа, результат не укладывается в длину слова; в этом случае происходит переполнение, вызываюш,ее потерю точности вычислений.

Представление числа в форме с плавающей запятой. Более удобным в практическом применении, охватывающим к тому же больший диапазон чисел, является представление чисел в форме с плавающей запятой. Этот метод известен также как правило, согласно которому первая часть слова используется для записи числа, называемого мантиссой, а вторая для записи порядка. Например, в десятичной системе число 5 может быть записано как 0,5 10, 50 10 , 0,05 10 и т.д. В ЭВМ двоичное представление чисел в форме с плавающей запятой обычно определяется как

N = М X 2 (2-6)

где М - мантисса; Е - порядок числа N. Кроме того, обычно М масштабируется таким образом, чтобы соответствующее десятичное значение лежало в пределах 0,5 <М < 1.

На рис. 2.3 показано представление 8-разрядного числа в форме с

Рис. 2.3. Представление 8-разрядного числа в форме с плавающей запятой

Бит знака

Вит знака

Рис. 1А. Гредст-авление числа в форме с плавающей загягой двумя машинными словами

1 бит знака

\ Бит знака

плавающей запятой: пять разрядов отведено под мантиссу и три под порядок. Так как и мантисса, и порядок могут быть положительными и отрицательными, первые разряды мантиссы и порядка отведены под биты знака. (Мохсю использовать первые два рязряда целого слова для битов знака мантиссы и порядка, соответственно). В микропроцессорах, рассчитанных на малую длину слова, для представления числа в форме с плавающей запятой могут использоваться два последовательных слова (рис. 2.4).

Так как мантисса нормализуется и является дробью между 1/2 и 1, первый разряд после бита знака всегда должен содержать 1, а двоичная запятая всегда должна следовать за битом знака.

Порядок Е указывает, на сколько разрядов двоичная запятая должна быть смещена вправо (для £ > 0) или влево (для £ < 0). В качестве примера на рис. 2.5 показано представление десятичного числа 6,5 в форме с плавающей запятой. В этом случае мантисса содержит четыре разряда для дроби 0,1101, а порядок записывается в двух разрядах целым числом 11, которое соответствует десятичному числу 3. Таким образом, число представляется как

7V= 0,1101 2 = (двоичное)

1 03.=

1 + 1

(десятичное)

\ =6,5, (десятичное)

Если передвинуть двоичную запятую вправо на три разряда, где 3 - десятичный порядок, то получим двоичное число 110,1 в форме с фикси-ровакной запятой, которое соответствует десятичному числу 6,5.

Для п-разрядного слова, содержащего т разрядов для мантиссы, е разрядов щш порядка и два разряда для знака, наибольшее представляемое число Лта-х показано на рис. 2.6, а. В этом случае все незнаковые разряды заполнены единицами, иТУщах выражается как

N = (1 - 2 max

(2-7)

Знак

Знак

Рис. 2.5. Иредстааление десятичного числа 6,5 8разрядным словом

Мантисса

Порявоп

Рис. 2.6. Представление максимального и минимального чисел в форме с плавающей запятой

Для 8-разрядного слова, коказанного на рис. 2.5,ст = 5ие=3 наибольшее представляемое число

= (1 - 2-)2(2 = (1 - 1/16)2 = 7,5

(2-8)

Для того же 8-разрядного слова с четырьмя битами, отведенными под мантиссу и столькими же для порядка, получим

= (1 - 2-3)2(2 -1) = (1 - 1/8)2 = 112

(2-9)

На рис. 2.6, б показан состав наименьшего положительного числа min. которое может быть представлено п-разрядным словом с т разрядами для мантиссы и е для порядка. В этом случае первый разряд после бита знака мантиссы содержит единицу, а все остальные биты мантиссы равны нулю. Разряды порядка заполнены единицами. Следовательно, min запишем как

N. = 0,5 X 2-<2~-1) mm

(2-10)

2.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ И КВАНТОВАНИЕ

Обычно цифровые системы управления содержат как аналоговые, так и цифровые элементы, поэтому необходимо преобразовывать аналоговые сигналы в цифровые (АЦП) и цифровые в аналоговые (ЦАП).

При изучении А/Ц и Ц/А преобразований важно правильно понимать вес каждого разряда машинного слова. На практике схемы АЦП и ЦАП базируются на двоичном представлении чисел с использованием двоичного кода дробного числа. Как показано в табл. 2.2, старший бит 3-разрядного двоичного слова имеет вес 1/2 от максимального значения числа (МЗЧ),