то, подставляя его вместо s в выражение (5-40), получим g(kT) = G( In z)eT(l/T)Inzd 1 i ,

(5-43)

При сравнении выражений (5-43) и (5-37) видно, что эти два интеграла совпадают с точностью до коэффициента l/T. Это означает, что Sa iT ), т.е. приближенное значение g(kT) может быть найдено с помощью разложения G[{l/T)\m]/T в ряд по степеням . Поэтому суть метода z-форм состоит в следующем.

1. В передаточной функции G(s) непрерывной системы заменяют на Tyinz и получают G[(l/7)lnz].

2. Значение g(kT)(k = 0, 1,2,...) определяется путем разложения G[{l/T)\nz]IT в ряд по степеням z . Однако вначале зто выражение должно быть представлено в виде рациональной функции от z, для чего необходимо аргумент 7)lnz приближенно записать в виде конечного ряда.

Представим Inz в виде следующего степенного ряда:

Inz = 2

Z- 1 . 1 Z+ 1 3

z> 0

Тогда

u+-u3 + uS

(5-44) (5-45)

1 + z-1 (5-46)

Разделив числитель на знаменатель запишем выражение (5-45) в виде

S Inz 2

В общем случае для п положительных целых имеем

11 4 3

945 +

(5-47)

11 4 3

945

(5-48)

Заметим, что правые части выражений (5-47) и (5-48) представлены в форме ряда Лорана. Сохраняя только главную часть и постоянный член ряда Лорана, получаем

(5-49)

.s (1-z-)

где N (z~) - полином по степеням z~, а G (z ) называется z-формой

от s . Следует подчеркнуть, что поскольку при s = О z = 1, полюса обеих частей выражения (549) соответствуют друг другу. Поэтому учет дополнительных членов ряда привел бы к появлению дополнительных полюсов на плоскости z и, как следствие, к большим, а не меньшим ошибкам.

Продемонстрируем теперь определение z-форм для и = 1 и и = 2.

Для и = 1, используя главную часть ряда в выражении (5-47), получаем

1+ Z

1-.Z

(5-50)

Для п = 2 имеем

G,(z-1) =

Т2 12

1 -t- lOz-1 -I- Z-2

(1-z-iy

-1ч2

(5-51)

С использованием этой же процедуры получены и представлены в табл. 5.1 z-формы более высоких порядков.

Хотя z-форма для 1/s совпадает с выражением для интегрирования по методу трапеций, сушествует принципиальное отличие между представленным методом z-форм и методом численного интегрирования, рассмотренным выше.При использовании приближенного интегрирования по методам трапеций и прямоугольников непрерывная система вначале описывается цифровой моделью, а затем для получения выходного сигнала учитывается входной сигнал в цифровой форме. При применении метода z-форм, напротив, изображение по Лапласу входного сигнала вначале умножают на

Таблица 5.1

передаточную функцию непрерывной системы, а затем в выражение C(s) подставляют z-форму для получения приближенного значения выходного сигнала (z

Поэтому этапы приближенного описания реакции непрерывной системы с помощью метода z-форм можно окончательно сформулировать следующим образом:

записывают изображение по Лапласу выходного сигнала системы C(s) в виде рациональной функции по степеням s ;

заменяют s~ соответствующими z-формами на основании табл. 5.1; в результате C(s) преобразуется в рациональную функцию по степеням z ;

для получения z) делят выражение, полученное на последнем этапе, на период квантования Т;

делением числителя на знаменатель преобразуют C(z) в степенной ряд вида

Сд(0) + Сд(Т)2-1 + Сд(2Т)2-2 + ... + Сд(кТ)2- -I- ...

где (кТ) - приближенное значение реакций c(t) при t = кТ.

Пример 5.1. Для иллюстрации метода цифровой аппроксимации на основе z-форм предположим, что передаточная функция разомкнутой системы управления с единичной обратной связью имеет вид

где/с - постоянный коэффициент усиления.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы в виде

C(s) К

R(s) + з + к 5- >

Для единичного ступенчатого входного сигнала изображение выходаюго сигнала К

C(s) = - ..

s(s -I- s + К)

Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на s-з, получим

C(s) =

(5-54)

(5-55)

Подставим теперь соответствующие формы из табл. 5.1 и, умножая результат на Т, получим

1 + z

1 -I- lOz + z-

(1-z-V

(5-56)

1 -z

Упрошая последнее выражение, окончательно запишем

btKfz- + z-) -

(1 - z-l)[(12 -Ь 6Т + Т%) + (-24 + ЮТЮг- + (12 - 6Т + t4}z-]

(5-57)

Два корня уравнения

(12 + 6Т ч- ТЮг + (-24 + 10t2k)z + (12 - 6Т + ТК) = о (5-58)

определяют устойчивость цифровой модели, полученной с использованием z-форм. Применяя критерий устойчивости, можно показать, что значения К к Т, соответст-