0.6 0.1

в 10 tc

Рис. 5.13. Максимальные значения К и Т Рис. 5.14. Переходные процессы в систе-для устойчивой цифровой системы ме из примера 5.1:

1 - Т = г,К = 1; 2 - Т = 1,К = 2; 3 - действительный переходный процесс

вуюшие устойчивой модели, связаны зависимостью, приведенной на рис. 5.13. Можно также показать, что для всех значений К а Т, которые соответствуют устойчивой цифровой системе, конечное значение сл(кТ) равно единще. Таким образом.

lim Сд(кТ) = lim (1 - z-)CAz) = 1

(5-59)

Переходная функция цифровой модели для К = 2,Т=1)лТ=2 совместно с переходной функцией исходной непрерывной системы изображены на рис. 5.14.

5.5. ПЕРЕОБОРУДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА БАЗЕ ЭВМ

Двумя наиболее важными проблемами в области цифровых систем управления являются моделирование и проектирование. Очень часто при анализе и синтезе систем управления бывает необходимо провести моделирование непрерывной системы на ЭВМ. Выше были представлены некоторые методы цифрового моделирования.

Здесь рассмотрим еще один метод решения той же задачи.

Большое число систем управления промышленного назначения является непрерывными системами. С точки зрения их характеристик эти системы вполне удовлетворительны. Однако поскольку технология микропроцессоров и ЭВМ становится более совершенной, часто бывает желательно переоборудовать эти системы на базе цифровых преобразователей и цифровых регуляторов. Вместо выполнения совершенно нового проекта с использованием теории цифровых систем управления можно применить методику переоборудования на базе ЭВМ для создания эквивалентной цифровой системы. Считают, что цифровая система эквивалентна непрерывной системе, если реакции двух систем для одних и тех же входных сигналов и начальных условий хорошо совпацают.

Структурная схема рассматриваемой непрерьшной системы изображена на рис. 5.15. Для удобства используется модель с обратной связью по

u(t)

Рис. 5.15.Непрерывная система

состояншо. Предполагается, что любая линейная система управления с обратной связью может быть представлена в такой форме.

Процесс, управляемый непрерывной системой, описывается уравнением состояния

i(t) = Axjt) + Bu(t) (5-60)

Вектор управления связан с вектором состояния х(г) и вектором входа г(г) соотнощением

u(t) = E(0)r(t) - G(0)x(t) (5-61)

Заданы следующие векторы и матрицы: Хс(0 - вектор состояния (иХ 1); u(r) - вектор управления (тХ 1); г(Г) - вектор входа (тХ 1); А - матрица коэффициентов (и X и ); В - матрица коэффициентов (и X т); Е (0) - матрица входа (т X т); G (0) - матрица обратной связи (тХп).

Подстановка соотношения (5-61) в уравнение (5-60) дает

i(t) = [А - BG(0)] xjt) + BE(0)r(t) (5-62)

Решение последнего уравнения для t>to имеет вид

Xe(t) = 0jt - to)x(to) + Г * 0jt - 7)BE(0)r(7)d7

где Xc(fo) - начальное состояние для xt) при t=ton [A-BG(0)](t-t )

(5-63)

(5-64)

По определению (см. гл. 4) Фс(г ~ to) есть переходная матрица состояния для А - ВС (0), описываемая степенным рядом

,(t-to)= I [A-BG(0)]J(t-to)J j=o J-

(5-65)

На рис. 5.16 представлена структурная схема цифровой системы управления, которая приближенно описывает систему, изображенную на рис. 5.15. В данном случае цифровая система может рассматриваться как имитационная модель непрерывной системы или модель переоборудованной на базе ЭВМ непрерывной системы.

Выходные сигналы устройств выборки и хранения на рис. 5.16 представляют собой последовательность ступенчатых функций, амплитуды которых являются элементами вектора щ(кТ) для kT<t<(k+ 1)Т. Через G(7) и Е(7) обозначены матрицы коэффициентов усиления обратной и прямой связей, соответственно.

usim

Xs(tl=AXs(tl*BUsm

Xs(KT)

G(T)

Рис. 5.16. Цифровая система управления, которая приближенно описывает непрерывную систему, изображенную на рис. 5.15

(5-66)

Запишем уравнения состояния цифровой системы в виде

x(t) = Ax(t) -I- Bu(kT)

дляА:Г<Г<(А:+ 1)Г,где

u(kT) = Е(Т)г(кТ) - С(Т)Хз(кТ) (5-67)

Важно отметить, что матрицы А и В идентичны матрицам, используемым в уравнении (5-60).

Подстановка соотношения (5-67) в уравнение (5-66) дает

i(t) = Ax(t) -Ь В[Е(Т)г(кТ) - G(T)x(kT)]

дляА:Г<Г<(/с+ \~)Т.

Решение уравнения (5-68) при г = (Д: + 1)Ги Го = ДгГ имеет вид

-(k+iyr -1

0(Т) - Г 0(кТ -I- Т - r)drBG(T)

(5-68)

xj(k-b 1)Т] =

х,(кТ) +

-1- Г 0(кТ -I- Т - r)d7BE(T)r(kT)

(5-69)

. *(Т)=еАТ.

Задача состоит в определении таких матриц Е(7) и G(T), чтобы при заданном входном сигнале г(г) состояния цифровой модели на рис. 5.16 имели наилучшее совпадение с состояниями непрерьшной системы в момент квантования.

Чтобы решение для Е(7) не зависело от г(г), необходимо выполнение условия г(г) г(кТ) для кТ t < (к + 1)Т. Поэтому предполагается, что входной сигнал непрерьшной системы, изображенной на рис. 5.15, в действительности проходит через устройства выборки и хранения. Это предположение не будет влиять на решение, если элементы r(t) - ступенчатые функции. Если входные сигналы не являются ступенчатыми функциями, аппроксимация будет удовлетворительной лишь для малых периодов квантования.

Полагая в выражении (5-63) =кТит = {к+ 1)7и предполагая, что в течение одного периода квантования г(т) ~ г(кТ), получаем

/. (к+1)Т

xj(k -I- 1)Т] = 0JT)x(kT) -I- J фкТ +Т- 7)BE(0)drr(kT)

кТ< t< (к -1- 1)Т

(5-71)