Реакции, определяемые уравнениями (5-69) и (5-71), будут совпадать при t = (/с + 1)Гдля произвольного начального состояния Хс(кТ) = х(кТ) и произвольного входного сигнала г(т) только в том случае, если справедливы следующие два соотношения: Л (к+1)Т

ф (Т) = <(Т) - Г (кТ + Т - 7)d7BG(T) (5-72)

кТ

/. к+1)Т (к+1)Т

/ 0(кТ + Т - 7)d7BE(T) = Г ФкТ + Т - 7)BE(0)d7

кТ Jk-r (5.73)

Обращаясь вначале к выражению (5-72) и полагая X = (А; + 1)Г - 7, получим

Фе(Т) = 0(Т) - е(Т)0(Т) (5.74)

где

е(Т)= Г eBdX (5-75)

о

В принципе матрица обратной связи G(T) для цифровой системы может быть найдена из уравнения (5-74). Однако на нее накладываются ограничения, смысл которых поясняет последующее изложение.

Решение для G(T) в замкнутой форме. Для совпадения всех п состояний цифровой системы х{кТ) с состояниями непрерывной системы х (А;7) в каждый момент квантования достаточно, чтобы было справедливо уравнение (5-74). Однако оно состоит из скалярных уравнений с тп неизвестными элементами матрицы G{T). Если число переменных состояния п равно числу входов т и матрица 0(7) является невырожденной, то матрица обратной связи G(7) определяется в соответствии с (5-74) как

G(T) = [е(Т)] -1 [(Т) - ф{Т)] (5-76)

Для большинства систем управления п >т, т.е. переменных состояния больше, чем входных сигналов, и уравнение (5-74) не имеет решения;. Однако если ранг матрицы 0(7) удовлетворяет определенным условиям, речь о которых пойдет ниже, система уравнений (5-74) является совместной и по-прежнему имеет решение.

Положим

G(T)- [g, g2 ... g ] (5-77)

<МТ)-ф(Т)= [di d2 ... d ] (5-78)

гдеё/, / = 1, 2,..., и - w-мерные векторы, a d / = 1, 2,..., и - ичмерные векторы. Тогда, если

rank [в] = rank [e,dj] (5-79)

для всех г = 1, 2, . . ., и система уравнений (5-74) имеет, по крайней мере, одно решение. Если же условие (5-79) не выполняется, то уравнения являются несовместными и решение не существует.

Частичное совпадение состояний. В общем случае условие (5-79) ред-

ко выполняется для матриц6)(Т) и Ф(Г) - Фс(Т). Так, если п> 171,1:0 не для всех состояний непрерывной и цифровой систем можно добиться совпадения в моменты квантования.

Хотя точное совпадение всех состояний невозможно, покажем, что некоторые состояния или алгебраические суммы состояний могут совпадать в каждый момент квантования

Введем весовую матрицу Н, которая позволяет обеспечить частичное совпадение состояний. Перепишем уравнение (5-74) в виде

D(T) = ф{Т) - фт = e(T)G(T) (5-80)

Умножая слева обе части последнего уравнения на матрицу Н размерностью тХп, получим

HD(T) = Не(Т)0(Т) (5-81)

Если матрица Н выбрана так, что (т X /эт)-мерная матрица И0(Т) является невырожденной, то из уравнения (5-81) может быть найдша матрица G(7), обеспечивающая частичное совпадение состояний. Обозначим зту матрицу обратной связи через С(Т). Тогда

С(Г) = [И&(Г)]- НО(Г). (5-82)

Следует заметить, что матрица 0(7), определяемая соотношением (5-82), не удовлетворяет уравнению (5-80), если только матрица Н не является единичной. Это обьясняется тем, что при умножении уравнения (5-80) на матрицу Н система из уравнений превращается в систему из тп уравнений. Поэтому для п>т найденное решение не будет удовлетворять исходным уравнениям.

Для выясншия физического смысла преобразования уравнения (5-81) и решения (5-82) снова приравняем уравнения (5-69) к (5-71) и затем умножим обе части полученного равенства слева на Н. В результате получим

HxJ(k+ 1)Т] = HxJ(k+ 1)Т] = Нф(Т)х(кТ) + Не(Т)Е(0)г(кТ) = = Н[ф(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) + Не(Т)Е(Т)г(кТ) (5-83)

6,(1)= j\(\m\ (5.84)

Для произвольных Xf.(kT), х(кТ) и г{кТ) соотношение (5-83) распадается на два уравнения:

Н0(Т)х(кТ) = Н[(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) (5-85)

Не(Т)Е(0)г(кТ) = Не(Т)Е(Т)г(кТ) (5-86)

Важная особенность состоит в том, что G(7), т.е. решение уравнения (5-82), удовлетворяет уравнению (5-85) для любого начального состояния Хс(кГ). Умножение слева обеих частей переходных уравнений состояния (5-69) и (5-71) преобразует и-мерные векторы состояния Хс[(А:+ 1)7] и Xg[(k + 1)7] в новый т-мерный вектор у[(А:+ 1)7], который удовлетворяет соотношению

-[(15 + li)T.}Нх [(к + 1)Т] = Нх [(к + 1 )Т] (5-87)

Выражение (5-87) показывает, что т новых состояний yi\(k + 1)7], / = 1, 2, . . ., m, являются алгебраическими суммами п исходных переменных состояния, т.е.

У;[(к+ 1)Т] = Xhj.x.[(k+ 1)Т] Ч=1.2,...,т . (5-88)

Таким образом, матрица G(T), определяемая выражением (5-82), обеспечивает совпадение в моменты квантования т состояний цифровой системы и взвешенных алгебраических сумм п состояний непрерывной системы.

Определение матрицы обратной связи с помощью разложения в ряд. Хотя соотношшие (5-82) позволяет получить точное решение G(T), можно упростить зту процедуру с помощью разложения G(7) в ряд Тейлора в окрестности точки Г = 0. В общем случае, если этот ряд сходится, матрица G(7) может быть аппроксимирована суммой конечного числа членов ряда.

Разложим G(7) в ряд Тейлора в окрестности точки 7= 0: К-1

G(T) = Hm G(T) = lim Д

G(i)(T)=5to (5-90)

Oi T=0

Подстановка выражения (5-89) в уравнение (5-74) дает

Фс(Т) = 0(Т) - е(Т) Е т G(HT)TJ (5-91)

j=o J

Запишем уравнение (5-91) в виде

у [A-BG(0)]JTJ V f AJT f G()(T)T

A il - Л ji h i\ I L, (5-92)

j=0 J- j=0 J- i=oJ + k=0

у /[A-BG(0)]iTi AJTJ , AB у g№)(T)t!\ 934

Приравнивая теперь коэффициенты при Т\ г = 1, 2,.. ., к нулю, получаем

[А- BG(0)] А- Ai-J-iBG(i)(T)

i! (i-J)!J!

В общем случае можно выразить G~\Г) через G(~)(7), G(-3)(7),..., G()(r) HG(47),rfleG(o)(7) = G(0). Перепишем соотношение (5-94) в виде

[A-BG(0)r v A-i-lBG(J)(T) , BG(-)(T) 05-.

i! i! + .4 (i-j)!j! + (1-1)!