/=1,2,..- . Разрешая это уравншие относительно последнего члена, получим

Bg(-1)(T) а? [А - BG(0)] 2 A-J-lBG(J)(T) (i-1)! - i! i! .4 (i-j)!j!

Поскольку В в общем случае не является квадратной матрицей, то, чтобы найти G(~)(7) из последнего уравнения, вновь введем весовую матрицу И(тХп), такую, чтобы НВ бьша невырождена. Умножая слева обе части уравнения (5-96) на Н и выделяя в явном виде G(~)(T), получим

G(--l)(T)=(HB)-lH(-tA-BG(0)]i

aH:;1bg(J>(T)\

/ = 1, 2, . . . .В табл. 5.2 представлены выражения для G(;J,~)(7) при /= 1,2иЗ.

Таблица 5.2

Результаты, представленные в табл. 5.2, позволяют приближенно вычислить G(7), используя не более трех членов ряда (5-89). В соответствии с (5-89) имеем

К = 1 Gj (Т) = G(0>(T) = G(0) (5.98)

К = 2 G2(T) = G(0) + TG(1>(T) (5-99)

К = 3 G3(T) = G(0) + TG(1>(T) + ~ G(2>(T) (5-100)

Ha практике вместо точных матриц можно использовать их приближенные аналоги G(\T), С\\\Г) и G()(7). Кроме того, отметим (см. табл. 5.2), что G\T) и G\\T) не зависят от И. Поэтому приближенные значения G(T), полученные при использовании одного или двух членов ряда, соответственно Gi (Т) и G2(7), применяются для согласования всех состояний непрерывной и цифровой систем. При учете более двух членов ряда необходимо применять весовую матрицу И, поскольку G()(T) Ф G( 2) (3-), и при замене в выражении (5-100) G)(T) HaG(2)(r) в зависимости от выбранной матрицы Н обеспечивается совпадение только опре-Делшных состояний и комбинаций состояний.

в общем случае при увеличении числа членов ряда (5-89), используемого для аппроксимации G(T), полученное рещение будет стремиться к точному значению G(7), определяемому соотнощением (5-82).

Точное решение для Е(7). Вернемся теперь к определению матрицы прямой связи Е(Т). Запишем условие совпадения состояний в соответствии с (5-73) в виде

е(Т)Е(Т) = 61,(.Т)Е(0) (5-101)

Как и при рассмотрении замкнутой формы решения для G(7), если т = п и матрица Q(T) является невырожденной, существует единственное решшиеуравнения (5-101), имеющее вид

Е(Т)= [e(T)]-iejT)E(0)

(5-102)

В общем случае при п > т решение Е(7), соответствующее частичному совпадению состояний, равно

Е(Т)= [Ш(Т)]-1неДТ)Е(0) (5-103)

где предполагается, что Н0(/) - невырожденная матрица.

Определение Е(Г) с помощью разложения в ряд. По аналогии с G(7) матрицу Е(Т) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности Т= 0:

К-1 1

Е(Т) = lim Ej(T) = lim 7 е(>(Т)Т (5-104)

К. - К->~ j=o !

ЕШ(Т) = ад

(5-105)

Подставляя разложение Е(7) в уравнение (5-101) и выполняя операции, подобные (5-92), получим

--io (i-JW J (5-106)

/=1,2,... .В табл. 5.3 приведены значения ECJ,~ )(Т) для / = 1,2 и 3.

Таблица 5.3

. Так же как и для g(7), пр аппроксимации Е(7) не более чем двумя членами ряда, в весовой матрице Н нет необходимости. В этом случае стараются согласовать все состояния цифровой и непрерывной систем.

Условия устойчивости и ограничения на выбор весовой матрицы Н. Выше весовая матрица Н вводилась для частичного совпадения состояний в задаче переоборудования систем с использованием ЭВМ. Поскольку выбор элементов матрица И точно не определш, важным требованием является асимптотическая устойчивость замкнутой цифровой системы управления. Задача состоит в определении ограничений на вид Н, которые гарантируют устойчивость.

Решая уравнение состояния (5-66) для моментов квантования, имеем

xj(k + 1)Т] = 0(Т)Хз(кТ) + е(Т)и(кТ) (5-107)

где Ф(Г) и ЩТ) определяются соотношениями (5-70) и (5-75), соответственно. Для г(кТ) = О закон управления с обратной связью по состоянию имеет вид

и(кТ) = -G(T)s(kT) (5-108)

Подстановка выражения (5-108) в (5-107) дает

Хз[(к + 1)Т] = [0(Т) - е(Т)0(Т)]х(кТ) (5-109)

Цифровая замкнутая система, описываемая уравнением (5-109), является асимптотически устойчивой, если все собственные значения матрицы [Ф(Т) - ©(T)G(T)] располагаются внутри единичной окружности г I = 1. Если задан период квантования Т, то Ф(7) и 0(7) известны и, следовательно, ограничшия на G(7), диктуемые соображениями устойчивости, можно найти с помощью обычных критериев. Замена в выражшии (5-81) G(7) HaG(7) дает

HD(T) = H0(T)G,(T) (5-110)

Транспонируя матрицы в обеих частях последнего уравнения, получаем

D(7}H = g;(7O0(7)H (5-111)

[С;(Т)е(Т) - D(T)] Н = о (5-112)

Это матричное уравнение соответствует системе из п линейных однородных уравнений, которые имеют нетривильные решения только в том случае, если выполняется следующее условие:

G;(T)e(T)-D(T)l= О (5-113)

которое эквивалентно условию

ie(T)G(T)-D(T)l= О (5-И4)

Таким образом, если выполняется соотношение (5-114), всегда существует отличная от нуля матрица И, которая будет удовлетворять уравнению

G(T) = [Не(Т)1 -lHD(T) (54