Рис. 6.8. Полюсы непрерывной системы второго порядка (а) и свободное движение системы (б)

S-плоскость и),

X -X -

t ----

s-плоскость ----Os

jhfi

г-плискость

Рис. 6.9. Расположение полюсов на s- и z-плоскостях, иллюстрирующее эффект смещения частоты

частотой cjj, причем cjj < 2aji, то эта операция порождает на s-плоскости бесконечное множество полюсов s = Oj ± /wi + ]то, и = ± 1, ± 2,. .. . Как показано на рис. 6.9, о, операция квантования смещает полюсы в основную полосу - Wj/2 < cj < Wj/2, в результате чего эффект будет таким же, как если бы исходная система имела полюсы s = Oi ±/(ajj - Wj).

Рис. 6.9, б иллюстрирует рассмотренный случай на z-плоскости. На рис. 6.9, в с помощью дискретного сигнала показан эффект смещения частоты, проявляющийся в том, что при наличии прерывания в системе кажущаяся частота колебаний имеет значение cjj - ajj, тогда как в действительности она равна cj i.

На рис. 6.10 приведены примеры расположения корней системы второго порядка на s- и z-плоскостях и соответствующие им временные характеристики.

Приведенные выше соображения о связи между временными характеристиками и положением на z-плоскости корней характеристического уравнения относились к системам второго порядка. Однако эти соображения сохраняют силу и для систем более высокого порядка, доминирующие полюсы которьгх позволяют свести их к эквивалентным системам второго порядка.

6.4. ВЛИЯНИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОЛЮСОВ ИНУЛЕЙ

НА z-ПЛОСКОСТИ НА МАКСИМАЛЬНОЕ ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ

И ВРЕМЯ МАКСИМУМА ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

В п. 63 бьша рассмотрена связь между корнями характеристического уравнения ка z-плоскости и переходной функцией цифровой системы управления второго порядка. Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, расположенные на z-плоскости внутри единичной окружности, то переходная функция системы будет иметь колебательный характер с положительным затуханием. Вообще, чем ближе эти комплексные корни к единичной окружности, тем более колебательным является переходный процесс. Целесообразно установить связь между положением

б-17лоскость

s-nnockocmt

s-mocKOCim

-ш, -щ/2

s-nnocKocmt)

s-ппоскость

Il ... ih

\ I \ I

\ I \

Рис. 6.10. Расположение корней на s- и z-плоскостях и соответствующие временные характеристики

полюсов и нулей передаточной функции замкнутой цифровой системы и максимальным перерегулированием и временем максимума Tjx ее переходной функции.

Для непрерывной системы управления второго порядка, имеющей в замкнутом состоянии передаточную функцию вида

максимум переходной функции и время этого максимума определяются соответственно следующими выражениями [1]:

= 1 + е-

y7i ,2 (6-24)

Tmax = (6-25)

Для систем, порядок которых выше второго, невозможно получить простые соотношения между сах. Jmax и положением полюсов и нулей передаточной функции. Однако если систему можно охарактеризовать только парой доминирующих полюсов (т.е. полюсов передаточной функции замкнутой системы, которые имеют определяющее значение для переходной функции), а остальные полюсы и нули находятся далеко слева на s-плоскости, то влияние последних на переходную функцию незначительно. При этом условии Cfn ах и TVnax МОЖНО оценивать выражениями (6-24) и (6-25), соответствующими передаточной функции (6-23). Рассмотрим, например, следующую передаточную функцию системы четвертого порядка:

C(s) К

ад (S+ Pi)(s+P2)(s2 + 2Гси 8+а;2) (6-26)

где Pi и Р2 - действительные константы. Если pi и Рг по крайней мере в 5 раз больше, чем foj , то два полюса в точках - Pi и - Рг будут давать незначительный вклад в переходную функцию, а полюсы

S = -fcj + jcoy 1 - f 2 и s = -fcj - jcjy 1 - f 2

являются доминирующими. Однако просто отбросить члены (s + pi) и (s + Рг) в выражении (6-26) нельзя, поскольку они оказывают влияние на качество установившегося режима системы.

Для цифровых систем управления задача определения выброса и времени максимума переходной функции по расположению полюсов и нулей является более сложной, так как обьшно при использовании метода z-преобразования или уравнения состояния в дискретной форме реакидя системы находится только в моменты замыкания.

Возьмем в качестве примера следующую типичную передаточную функцию замкнутой цифровой системы управления второго порядка:

C(z) K(z- z)

R(z) (z-pj)(z-p) (6-27)