6JS. АНАЛИЗ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ОШИБКИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В П. 6.2 было введено понятие установившейся ошибки цифровой системы управления и исследовано ее поведение. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Сигнал ошибки системы управления можно определить различными способами. Обычно это сигнал, который необходимо как можно быстрее свести к нулю; он не всегда определяется как разность между эталонным входным сигналом и выходной переменной.

Для анализа установившейся ошибки цифровых систем управления можно воспользоваться структурной схемой,представленной на рис. 6.23. В данном случае сигнал e(t) определяется как ошибка, т.е.

e(t) = r(t)- b(t) (6-62)

Поскольку в цифровой системе трудно описать e(t), то обычно используется дискретный сигнал e*(t). Установившаяся ошибка в моменты замыкания определяется как

е* = lim е*(0 = lim е(кТ). (6-63)

Воспользовавшись z-преобразованием и теоремой о конечном значении, приходим к выражению

е*= lim е*(0= lim (l-z- )£(z) (6-64)

уст f ac 2-*1

при условии, что функция (1 - z)E{z) не имеет полюсов на единичной окружности z I = 1 или вне ее.

Установившуюся ошибку между моментами замыкания можно найти с помощью модифицированного z-преобразования и записать

lim е(кТ,т) = lim (1 - z )E(z,m)

к- z->l {O-OD)

0 m<l 0 m<l

где £(z, m) - модифгщированное z-преобразование e(t).

Из теории линейных непрерывных систем управления известно, что установившаяся ошибка зависит от вида приложенного к системе входного эталонного воздействия, а также от параметров системы. Эти свойства характеризуются коэффициентами ошибки [1] которые можно использовать также в цифровых системах управления.

Для сисгемы, изображенной на рис. 6.23, г-преобразование сигнала ошибки в виде

ад = гт1) (-)

Подставляя последнее выражение в (6-64), получим

ус. = , И-*(0 = (1 - z- ) - . (6-67)

Cn(s)

Рис. 6.23. Цифровая система управления

Это выражение показывает, что установившаяся ошибка зависит как от входного эталонного сигнала R{z) , так и от передаточной функции разомкнутого контура GH(z). Рассмотрим три основных вида входных сигналов: ступенчатую функцию, линейную функцию и параболическую функцию.

Установившаяся ошибка при ступенчатой входной функции. Пусть входной сигнал системы, показанной на рис. 6.23, является ступенчатой функцией величиной Л. z-преобразование r(t) равно

R(z) = - (6-68)

Подставляя (6-68) в (6-67), получим R R

уст 11+ GH{z) 1 + lim GH(z)

z - 1

GH(z)=(l-z-l)

rGp(s)H(s)

(6-69)

(6-70)

Определим коэффициент ошибки no положению как

Kp = imGH(z) (6.71)

Тогда (6-69) примет вид fi

У 1 + Кр

(6-72)

Таким образом, чтобы установившаяся ошибка при ступенчатой входной функции равнялась нулю, коэффициент ошибки по положению Кр должен быть бесконечным. Это означает, что передаточная функция GH(z) должна иметь, по крайней мере, один полюс z = 1. Следует подчеркнуть, что коэффициент ошибки по положению Кр имеет смысл только при ступенчатой входной функции.

Установившаяся ошибка при линейной входной функции. Для линейной входной функции r{t) = RtUs{t) z-преобразование имеет вид

R(z) = - . (6-73)

Подставляя (6-73) в (6-67), получим.

е* = lim --- =--- . (6-74)

уст г- 1 (Z-1)11 +

lim -- GH(,z)

z-1 Т

Определим коэффициент ошибки по скорости как

K = Aiit(, l)GH(z)]

тогда (6-74) примет ввд

е* = - (6-76)

У Ку

Коэффициент ошибки по скорости А!у имеет смысл только тогда, когда входной сигнал системы представляет собой линейную функцию. Выражение (6-76) действительно только в том случае, если функция, входящая под знак предела в (6-67), не имеет полюсов на единичной окружности z I = 1 или вне ее. Это означает, что замкнутая цифровая система управления должна быть, по крайней мере, асимптотически устойчивой.

Выражение (6-76) показывает следующее: чтобы при линейной входной функции e*g.j, равнялась нулю, должен быть равен бесконечности. Как следует из (6-75), это эквивалентно требованию, чтобы (z - l)G (z) имело, по крайней мере, один полюс z = 1 или GH(z) - два таких полюса.

Установившаяся ошибка при параболической входной функции. Для параболической входной функции r{t) = RtUgt)!! z-преобразование имеет вид

Rj2z(z+1) 2(z-l)3

В соответствии с (6-67) установившаяся ошибка в моменты замыкания определяется как

Л li, JL1)- , (6-78)

2 zl (z - 1)[1-1- СЯ(2)]

е* =-- , (6-79)

lim-~ GH(z)

Определим коэффициент ошибки по ускорению как

Ka = ;i-t(--i)GH(z)] (6-80)

Тогда (6-79) примет вид

(6-81).

Аналогично предыдущим случаям коэффициент ошибки по ускорению имеет отношение только к параболической входной- фэдкции, а при любых других типах входных сигналов его использовать нельзя..

Приведенный выше анализ показывает, что если эталонный входной сигнал цифровой системы управления является функцией ступенчатого, линейного или параболического типа, то установившаяся ошибка в моменты замыкания зависит соответственно от коэффициентов ошибки по положению, скорости и ускорению:

Kp = limGH(z) (6.82)

К = I lim (Z - l)GH(z) (6-83)

А z- l

a = i(-l) <) (6-84)