При необходимости аналогичным образом можно распространить понятие коэффициентов опшбки применительно к выходным функциям более высокого порядка.

О влиянии квантования на установившуюся ошибку. Выше мы показали, что квантование обьмно отрицательно влияет на переходную функцию и относительную устойчивость системы управления. А как оно влияет на установившуюся ошибку замкнутой системы? Иными словами, если мы имеем непрерывную систему, а затем вводим в нее устройство выборки и хранения, получая тем самым цифровую систему, то каковы будут установившиеся ошибки этих систем при одном и том же типе входного сигнала?

Рассмотрим сначала систему, изображенную на рис. 6.23, считая, что устройство выборки и хранения в ней отсутствует. Для такой непрерьшной системы коэффициенты ошибки по положению, скорости и ускорению, соответственно, определяем следующим образом:

К = lim G (s)H(s) (6-85)

(6-86)

К = lim sG (s)H(s) К, = lim sG .(s)H(s)

(6-87)

В теории управления принято классифицировать непрерывные системы в зависимости от порядка полюса s = О у передаточной функции разомкнутого контура. Если

G(s)H(s)= -- bS)-(l.Vs) Р sJ(l + TiS)(l-bT2s)...(l + T s)

(6-88)

где через Т обозначены ненулевые действительные или комплексные константы, то систему относят в типу /. Так, на основании выражений (6-85), (6-86) и (6-87) можно легко прийти к выводу, что, например, система типа О будет давать постоянную установившуюся ошибку при ступенчатой входной функции и бесконечную опшбку при входных сигналах более высокого порядка. Система типа 1 (/ = 1) будет давать нулевую установившуюся ошибку при ступенчатом входном сигнале, постоянную ошибку при линейном входном сигнале и бесконечную ошибку при любом воздействии более высокого порядка, и тл. В табл. 6.1 приведены значения коэффициентов ошибки для разных типов непрерывных систем управления.

Таблица 6.1

На основании выражений (6-83) и (6-84) можно было бы сделать вывод, что для цифровых систем управления коэффициенты ошибки и Кц зависят от периода квантования Т. Поскольку любая цифровая система предполагает наличие непрерывного управляемого процесса, то можно рассматривать передаточную функцию Gp(s)H(s) вида (6-88). Проведем анализ для случаев / = О, 1, 2.

Система типа 0. Для системы типа О, когда / = О, выражение (6-88) имеет вид

K(l + Ts)(l + T.s)...(H-T S) p() ( ) - (1.TiWV)...(1T;) (6-89)

причем предполагается, что у этой функции полюсов больше, чем нулей. Подстановка последнего выражения в (6-70) дает

- (ЩИ-Т s)(H-Tj,s)...(H-Т s) !

(6-90)

Раскладывая выражение в фигурных скобках на сумму простых дробей, получим

GH{z) = (1 - z )[- + члены с ненулевыми полюсами ] =

- п --1\г I члены, обусловленные 1 (6-91)

Z - 1 ненулевыми полюсами

Важно заметить, что слагаемые, обусловленные ненулевыми полюсами, не содержат в знаменателе член (z - 1). Тогда коэффициент ошибки по положению

К = Иш GH(z) = lim (1 - z !) = К (6-92)

* Z-.1 Z-1 Z - 1

Этот результат показывает, что в случае процесса типа О коэффициент ошибки по положению для замкнутой сисгемы с квантователем и фиксатором имеет такое же выражение, как и для непрерьшной системы. Следовательно, квантователь и фиксатор не оказывают влияния на установившийся режим систем данного типа.

Подставляя (6-91) в (6-83), получим коэффициент ошибки по скорости

= lim (Z - l)GH(z) = I lim (z - IKl - zl) = 0 (6-93)

Z- l 1 z.>l Z 1

Аналогичным образом = О для систем типа 0.

Система типа 1. Для системы типа 1, когда / = 1, выражение (6-70) принимает вид

СЯ(г)= (l-z->)[?---------> ] = + T-isKl + T2s)...a + T s)

= (1 ~ ~)[~2 - + члены с ненулевыми полюсами ]. (6-94)

Тогда коэффициент ошибки по положению Ар = lim СЯ(2)= lim(l-z- )[

(6-96)

члены, обусловленные ненулевыми i

полюсами J °° (.о-У-*)

Коэффициент ошибки по скорости

= i lim (Z - l)GH(z) = lim (z - 1)(1 - )(- +

i z-l - 1 z-l \(Z-1)2 ~ V

Нетрудно показать,что = 0.

Таким образом, при одной и той же передаточной функции Управляемого процесса система типа 1, содержащая квантователь и фиксатор, дает такую же установившуюся ошибку, как и непрерывная система.

Аналогично можно показать, что в случае процесса типа 2 цифровая система управления будет иметь Кр = о°,Ку =°° иК = К. Таким образом, значениями коэффициентов ошибки, приведенными в табл. 6.1, можно воспользоваться и для цифровых систем управления со структурой, показанной на рис. 6.23. При раскрытии выражений (6-83) и (6-84) происходит сокращение величины Т, поэтому установившаяся ошибка цифровой системы управления не зависит от периода квантования, а определяется исключительно параметрами непрерывной части системы и видом входного воздействия.

Подчеркнем еще раз, что если система спроектирована в целях отработки линейно-меняющегося сигнала, то ее реакция на ступенчатое воздействие перестает быть апериодической.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kuo, В. С, Automatic Control Systems, 3rd ed. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1976.

2. Kuo, B. C, Analysis and Synthesis of Sampled-Data Control Systems. Prentice-Hall, Englewood aiffs, N.J., 1963.

3. Tou J. T. Digital and Sampied-Data Control Systems. McGraw-HiU, New York, 1959. [Опубликован перевод: Ту Ю. Т. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964].

4. Jury, Е. I., Theory and Applications of the z-Transform Method. John Wiley & Sons, New York, 1964.

5. Ragazzini, J. R., and Franklin, G. F., Sampled-Data Control Systems. McGraw-Hill, New York, 1958.

6. jury E. I. Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, New York, 1958. [Опубликован перевод: Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгаз, 1963].

7. Lindorff, D. Р., Theory of Sampled-Data Control Systems. John Wiley & Sons, New York, 1965.

8. Freeman, H., Discrete-Time Systems. John Wiley & Sons, New York, 1965.

9. Monroe, A. J., Digital Processes For Sampled-Data Systems. John Wiley & Sons, New York, 1962.