JImz

Z-плоскоСть

Рис. 7.2. Контуры Найквиста:

а - Ts на s-плоскости; б - Tz на z-плоскости

замкнутой системы, изображенной на рис. 1Л,а,нужно сначала построить годограф Найквиста для G{s)H{s), который является отображением контура Найквиста в s-гшоскости на плоскость G{s)H(s), а затем пронаблюдать его поведение относительно точки ( - 1,/0).

Цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в замкнутом состоянии импульсную передаточную функцию

C*(s) G*(s) R*(s) 1 + GH*(s)

(7-2)

Устойчивость замкнутой системы можно определить по годографу Найквиста для GH*(s). Так как GH*(s) имеет ввд

1 °°

GH*(s) = Z G(s + jnw)H(s + jncog)

(7-3)

TO построение годографа фактически зависит от свойств произведения G (s)H(s). Можно поступить иначе, записав передаточную функцию (7-2) в z-форме:

C(zl G{z) B(z) 1 + GH(z)

и построив годограф Найквиста для GH(z), если использовать контур Найквиста на z-плоскости. Контур можно получить отображением контура Г$ на z-плоскость с помощью выражения z = е. На рис. 7.2, б показан контур Найквиста на z-плоскости; малые полуокружности при Z = 1 и в других точках контура соответствуют возможным аналогичным полуокружностям на контуре Найквиста в s-плоскости. Большая окружность бесконечного радиуса на z-плоскости соответствует большой полуокружности (участок IV) на s-плоскости. Контур Найквиста на z-плоскости не является непрерывным, ибо, когда при движении по контуру в s-плоскости точка достигает положения J, соответствующая ей точка на z-плоскости перескакивает с единичной окружности на окружность беско-

нечного радиуса, а в положении 7 происходит обратный скачок. Точное место, где происходит такой скачок, указать невозможно. Однако областью, охватываемой контуром Найквиста Г, является все пространство между двумя окружностями. Для передаточных функций GH{z), которые не имеют полюсов и нулей вне единичной окрзности на z-плоскости, достаточно использовать только участок / контура Fz, соответствующий участку Fj от s = О до s = / °°.

Теперь приведем формулировку критерия Найквиста для цифровых систем управления и опишем процедуру его применения.

1. На z-плоскости определяется контур Найквиста, как показано на рис. 7.2,6.

2. Годограф Найквиста для G*(s) или GH(z) строится в полярных: координатах при изменении переменной z вдоль контура Fz или переменной s вдоль контура Fj.

3. Критерий Найквиста указывает на то, что для устойчивости замкнутой цифровой системы годограф Найквиста GH(z) [или GH*{s)] должен охватьшать точку ( - 1, /0) на плоскости GH(z) [или GH*{s)\ столько раз, сколько полюсов GH{z) [или Gff*(s)] находится внутри контура Найквиста Г (или Fs), причем зти охваты должны совершаться по часовой стрелке.

Иными словами,

N=Z-P (7-5)

где N - число охватов точки ( - 1, /0) годографом Найквиста GH{z), причем N берется со знаком плюс при охвате точки ( - 1, /0) против часовой стрелки и со знаком минус при охвате по часовой стрелке; Z - число нулей функции 1 + GH{z), расположенных на z-nnocKOCin вне единичной окружности (или охватываемых контуром Найквиста при движении по нему против часовой стрелки); Р - число полюсов функции 1 + + GH(z), расположенных на z-плоскости вне единичной окружности, т.е. охватываемых: контуром Найквиста. [Заметим, что полюсы 1 + GH(z) совпадают с полюсами G (z)].

Чтобы замкнутая система бьша устойчива, должно выполняться тождество Z = О, т.е. все корни характеристического уравнения должны лежать внутри единичной окрзности. Тогда условие (7-5) принимает вид

N = -Р (7-6)

Если функция GH{z) не имеет полюсов вне единичной окружности (т.е. Р=0), это означает, что разомкнутая система устойчива, и критерий Найквиста принимает простейшую форму

N = О (7-7)

Таким образом, если разомкнутая система устойчива и Z = О, то для того, чтобы замкнутая система также была устойчива, годограф Найквиста GH{z) вообще не должен охватывать точку ( - 1, /0).

Итак, применение критерия Найквиста к цифровым системам управления, по сути, сводится к исследованию поведения годографа Найквиста GH(z) относительно точки ( - 1,/0). Следовательно, основной задачей является построение этого годографа.

Если критерий устойчивости имеет вид (7-7), то необходимо построить только участок / (г = е , О < со < 0°) годографа Найквиста.

Участок / годографа Найквиста GH(z) строится на основании выражения

GH*(Jw)=s Z G(jw + jnw)H(jw-Ь jncoj (7.8)

А n=-~

где CJ изменяется от О до °°. Другим способом тот же годограф можно построить по выражению GH(z), заменяяz =e к варьируя со от О до °°.

Выражение (7-8) неудобно для построения годографа Найквиста, так как оно содержит бесконечное число членов. Поэтому ниже рассмотрим несколько практических,методов построения годографа Найквиста для GH(z).

1. Метод /-преобразования. При гармоническом анализе непрерывных систем в выражении для передаточной функции производится подстановка s = /со, т.е. на s-плоскости рассматриваются только точки, расположенные на положительном направлении мнимой оси. Для цифровых систем управления соответствующий анализ в частотной области связан с заменой

Z = eJT (7-9)

т.е. на z-плоскости рассматриваются только точки, расположенные на единичной окружности z = 1.Так, если задана некоторая передаточная функция G(z), то имеет место тождество

G(z) = G*(s) Тогда

1 , (7-10)

G(z) = G*(s)

Программа вычисления G(z) по последнему выражению на языке ФОРТ-PAH-IV приведена в п. 7.7.

Пример. 7.1. Пусть цифровая система управления, изображенная на рис. 7.1, б, имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

G( ) ( ) = (7-12)

а частота квантования ojj = 4 рад/с, что соответствует периоду квантования Т = = 7г/2 с.

г-преобразование выражения G{s)H{s) имеет вид гш,ч - 1 7 0.792Z

0,H(z) - 1,57 jj о 208) (7-13)

В соответствии с (7-11) частотный годограф СЯ(г) описывается выражением

(ei-T i)(ei-T 0,208) .щ

1.243(cosa)T + jsinojT)

~ (coswT-I-jsinwT - l)(coswT -Ь jsinwT - 0,208)