GH{z)- плоскости

Рис. 7.3. Частотные годографы для G(s)H(s) = = l,57/s(s 1) hGH(z) = = 0,792Kz/I (z - 1) (z -- 008)1 при К = 1,57, Т = 7Г/2 с

Поскольку полному обходу по единичной окружности соответствует - riLojl < со < < ncdisll, где п = 1,2,. . ., то в указанных интервалах частот годограф GH{z) имеет один и тот же вид. На рис. 7.3 изображен годограф GH{z) при измшшии z вдоль единичной окружности. На годографе отмечены только те значения частоты, которые соответствуют отрезку оси на s-плоскости, находящемуся в основной полосе. Влияние квантования на устойчивость замкнутой системы очевидно из годографов Найквиста для G(s)H{s) и GH(z), приведенных на рис. 7.3. Поскольку передаточная функция G{s)H(s) имеет второй порядок, то соответствующий ей частотный годограф не пересекает отрицательное направление действительной оси и непрерывная система управления с такой передаточной функцией всегда будет устойчива в замкнутом состоянии. Для цифровой системы управления годограф СЯ(г) при К = 1,57 пересекает отрицательное направление действительной оси в точке - 0,515; точка же ( - 1 ,/0) находится левее, и годограф GH{z) не охватывает ее. Следовательно, замкнутая цифровая система при К = 1,57 и Г = 7г/2 с является устойчивой. Однако при К > 3,05 она уже не будет асимптотичлки устойчивой.

Пример 72. Рассмотрим цифровую систему управления, изображенную на рис. 6.5; передаточная функция разомкнутой системы задана выражением (6-59), гдеГ= 0,1 с,Кг= 3,17-105,Уу = 41822, гКр~ варьируемый параметр. Итак,

G(z) = -

1,2 X 10-Kp(z + 1) (z-l)(z-0,242)

(7-15)

После замены z = ef в выражении (7-15) вычисляются модуль и фаза функции G(z). На рис. 7.4 изображены годографы Найквиста для С(г) пркКр = 1,65-106 ; 6,32-10* и 10. Когда Кр = 1,6510, то годограф G(z) при частоте 13,2 рад/с пересекает отрицательное направление действительной оси в точке - 0,26. Так как точка ( - 1,/0) находится левее, то в соответствии с критерием Найквиста замкнутая система асимптотически устойчива. При Кр = 6,32-10 годограф G(z) проходит через точку ( - 1,/0) и система не является асимптотически устойчивой. Наконец, при Кр = 10 годограф G(z) охватывает точку ( - 1,У0) и система неустойчива. Частота, при которой годограф G(z) пересекает отрицательное направление действительной оси, равна значению w, при котором корневой годограф на г-плоскости пересекает единичщю окружность (см. рис. 6.21).

Следует отметить, что при построшии годографов (рис. 7,4) рассматриваются только положительные значения ш. Крометого, каждая кривая соответствует диапа-

Рис. 7.4. Часготные годографы G (z) для системы, изображенной на рис. 6.5

зону частот О < и> < cjj, где - частота квантования. Годограф для О < to < ts/ является зеркальным отображением относительно действительной оси годографа для tjj/2 < ш < ixjj. Следовательно, годографы повторяются для каждого интервала Kcjj < CJ < (к + l)<.Js. и = О, 1, 2,. . . . Это свойство частотных годографов обусловлено периодичностью полосы s-плоскости и эффектом квантования.

2. Метод бесконечного ряда. Импульсная передаточная функция цифровой системы управления может быть записана в виде

1 °*

(7-16)

где в целях анализа в частотной области произведена замена s = /cj. Поскольку большинство систем управления обладают характеристиками типа фильтра нижних частот, то модуль функции Ci{jw(jLo) уменьшается с ростом частоты cj. Поэтому мы можем произвести аппроксимацию бесконечного ряда (7-16) конечным числом членов. При вычисленш! на ЭВМ можно предусмотреть автоматическое ограничение ряда, когда удовлетворяется принятый критерий ошибки. Иными словами, будем считать

GH*(joj)= f GO + JnWJto + jncoj

(7-17)

n=-N

где положительное целое Л определяется следующим критерием ошибки: С[/а; + /(Л(+ l)ws][/co+/(7V+ l)ws] +

+ G\]b, - i{N* \)cos]H\ji - i(N+ 1)со,]<ДСЯ*(/), (7-18)

где Д - наперед заданная малая величина.

Неравенство (7-18) означает, что, если вклад (Л + 1)-го члена в выражение (7-17) меньше некоторой малой доли (определяемой величиной

Таблица 7.1

А) модуля функции для н = о, 1, 2, . . ., Аили равен ей, ряд можно оборвать после п= N.

Прешчущество данного метода перед методом z-преобразования состоит в том, что отпадает необходимость определения GH(z) по выражению G(sy/(s).

Программа вычислений по формуле (7-17) с использованием критерия ошибки (7-18), записанная на языке ФОРТРАН-IV, приведена в п. 7.7.

В качестве примера данная программа использована для вычисления GhoG*(joj) в соответствии с функцией

Gho(s)G(s) =

(7-19)

В табл. 7.1 приведены результаты вычислений модуля и фазы функции Gf,oG*(jcj) при Г = 0,2 и Д = 0,01. В-первой графе таблицы указаны значения N, определяющие верхний и нижний пределы суммирования в выражении (7-17) и необходимые для удовлетворения критерия ошибки. Например, если CJ = 0,1571 рад/с,тоЛ= 1. Это означает,чтоб/,оС*00,1571) annpoKCHivinpyeiCH выражением