. 00*00,1571) s GoG*(j0.1571)= Go(jO,1571)G(jO,1571) + + Go{jO,1571 + joj)G{jO,1571 + jojj +

+ Gbo(j0,1571 - ja;)G(j0,1571 - joj) (7-20)

где cjj = 2я/7 = 10я - частота квантования. Ряд обрывается при N = I, так как в соответствии с (7-18)

СйоО0,1571 + /2a;s)G0O,1571 + ]2ojs) +

+ Сйо00,1571 -/2a;s)G00.1571 -j2ojs)\ < 0,01 GoGfOO,1571). (7-21)

Для передаточной функции вида (7-19) N увеличивается с ростом со. Приа;= 15,71 рад/с Л/= 5.

Заметим, что в программе для ЭВМ частота cj наращивается равными долями от cjj/2 и изменяется до cjgl2. Это объясняется тем, что частотный годограф GH*(jco) имеет один и тот же вид в диапазонах от ncjs До (и + 1) и = О, 1,2, а его участок от со = О до со - cOj/2 симметричен участку от со = cOs/2 до со = coj. Поэтому фаза GH*{jcS) при со = ncjj2 всегда равна целому числу я.

В табл 7.2 приведены результаты вьиислении ряда, аппроксимирующего выражение (7-19), при Г = 0,2 и Д = Ю *. Если со = 0,1571, то но-прежнему равно единице. Однако при возрастании со требуется большее число членов, чтобы удовлетворялся критерий ошибки.

3. Метод билинейного преобразования. Для построения частотных характеристик цифровых систем управления можно воспользоваться били- нейным преобразованием

1 + W

Из данного соотношения

(7-22)

( 7-23)

Z+1

При2 = е = со5Со7+ /sincorвыражение (7-23) принимает вид

. sincoT ., ГсоТ = J 1 + coso.T =

(7-24)

Таким образом, единичная окружность на z-плоскости отображается в мнимую ось комплексной w-nnocKocTH. Область внутри единичной окружности соответствует левой половине w-плоскости, а положительное направление мнимой оси соответствует диапазону частот исо <со< (и+l)cjj, и = 0, 1,2, ....

Пусть комплексная переменная w имеет вид

Тогда из (7-24) получаем соотношение соТ

(7-26)

которое устанавливает связь между частотой со и псевдочастотой CJ,.

Таблица 7.2

Таким образом, для анализа в частотной области мы можем в передаточной функции заменить переменную z выражением

.= 1 (7-27)

и изменять соц, от нуля до бесконечности. Например, передаточная функция (7-15) с учетом выражения (7-27) после упрощения принимает вид

1,583 X 10-к1-joj)

(7-28)

joj(l +jl,636oj)

Заметим, что обозначение G(/cjvv) используется в том смысле, что передаточная функция зависит от /со, и вовсе не означает простой замены Z на jcjw По полученному выражению G(jcj) можно построить кривые зависимости модуля и фазы G(Ju>yv) от псевдочастоты изменяя последнюю от нуля до бесконечности.

7.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

На первый взгляд, билинейное преобразование не дает шкаких преимуществ, если необходимо построить частотный годограф в- полярных: координатах. Однако с помощью билинейного преобразования передаточная функция приводится к такому виду, что построение логарифмических частотных: характеристик практически не встречает затруднений. Например, передаточная функция (7-28) имеет простое выражение, которому соответствуют точки излома амплитудной характеристики coyv = 1 и со ; = = 1/1, 636 =0,611, и последняя строится достаточно просто [ 1].

На рис. 7.5 изображены логарифмические частотные характеристики для функции G(/Wvv), определяемой выражением (7-28), при ifр = 1,65 X X 10; 6,32 10 и 10. Амплитудные характеристики построены с учетом аппроксимации характеристик сомножителей Gijojyj) прямолинейными отрезками. Например, амплитудная характеристика члена (1 - joow), входящего в числитель Gijixi), представляют собой асимптоту с нулевым наклоном при малых значениях coyv и прямую линию с наклоном+20 дБ/дек при больших значениях соу. Эти две линии встречаются при <jJw = ЬО. Амплитудная характеристика члена (1 + /l,636cjvv) в знаменателе G(/cjyy) представляет собой прямую с нулевым наклоном при малых значениях Wvt, и прямую с наклоном - 20 дБ/дек при больших значениях oj.. Эти два ч)трезка встречаются при частоте iw= 0,611. Члену /со в знаменателе G(/C0y(,) соответствует амплитудная характеристика в виде прямой линии с наклоном - 20 дБ/дек, проходящей через точку соу = 1 на горизонтальной оси. Сумма этих трех составляющих дает результирующую амплитудную характеристику функции G(Jcj). Изменение коэффициента Кр приводит к смещению этой характеристики по вертикали вверх или вниз.

Фазовая характеристика члена (1 - /cj) в числителе Gijcj) изменяется от О до - 90° в диапазоне О < со < °°, а при cjw - 1 фазовый сдвиг равен -45°. Аналогично фазовая характеристика члена (1 + jl,636u).,) в знаменателе имеет такой же вид, за исключением того, что сдвиг - 45° имеет место при cjw ~ 0,611. Член jcj в знаменателе дает постоянный фа-

Рис. 7.5. Логарифмические члс-тотные характеристики для функции G (j<w) > соответствующей системе, изображенной на рис. 6.5

3 5