зовый сдвиг -90 при всех значениях cj. Сумма всех этах фазовых характеристик показана на рис. 7.5.

Полезно сравнить эти логарифмические частотные характеристики с частотными годографами в полярных: координатах (см. рис. 7.4), построенными для той же самой передаточной функции. Логарифмические характеристики соответствуют диапазону изменения cj от О до о или при переходе к действительной частоте со - диапазону от ncjg до (и + l)cos> ~ = О, 1, 2, ... . Для годографов в полярных координатах частота изменяется от ncjs до (и + 1/2) cos. и = О, 1, 2, .... Участок G(/w) от со = (и + 1/2) со до со = (и + l)cos является зеркальным отображением кривой для О < < со < (и + 1/2) cos, как показано на рис. 7.4.

7.4. ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ ПО МОДУЛЮ И ПО ФАЗЕ

Запас устойчивости по модулю. Для оценки относительной устойчивости систем управления используются такие показатели, как запас по модулю и запас по фазе. Применительно к цифровым системам управления эти показатели имеют тот же смысл, что и для непрерывных систем. На рис. 7.6 еще раз воспроизведены частотные годографы, ранее построенные на рис. 7.4. Годограф G(z) для Кр = 1,65 10* пересекает отрицательное направление действительной оси в точке - 0,26. Видно, что, если Кр увеличить до значения 6,32 10, т. е. в 1/0,26 раз, система будет находиться на границе устойчивости. Следовательно, при Кр = 1,65-10* число 1/0,26 = 3,83 является коэффициентом безопасности , показывающим, во сколько раз можно увеличивать Кр, сохраняя систему устойчивой. Множитель 3,83 определяется как запас устойчивости по модулю в линейном масштабе.

С(г)-плосысть

Рис. 7.6. Частотные годографы функции G(z) , заданной выражением (7-LS)

Обычно запас по модулю выражают в децибелах: , v ~

20 Ig 3,83 = 11,66 дБ. (7-29)

Такое представление удобнее, если используются логарифмические частотные характеристики-

На основании данного выше определения запас по модулю (дБ) можно выразить аналитически;

Запас по модулю = 20 Ig-тгг-, (7-30)

где I G(e c) модуль G(e ) при частоте со., соответствуюшей точке пересечения годографом действительной оси. В этой точке фаза G(e ) равна 180°.

На рис. 7!б видно, что G(ec) =- 1 приА:р=6,32-10. В этом случае

запас по модулю = 20 Ig 1 = О, (7-31)

замкнутая система находится на границе устойчивости и коэффициент Кр дальше увеличивать нельзя.

При Кр > 6,32 10* G(e c) > i запас по модулю в децибелах отрицателен, и система неустойчива. Однако следует соблюдать осторожность, интерпретируя отрицательный запас по модулю как неустойчивость системы. Такой вывод справедлив только для систем, передаточная функция которьЕс в разомкнутом состоянии не имеет полюсов и нулей вне единичной окружности; иначе говоря, вывод относится к системам, для суждения об устойчивости которьЕс достаточно иметь лишь участок / годографа Найквиста.

Запас устойчивости по фазе. Одного запаса по модулю оказывается недостаточно, чтобы судить об относительной устойчивости замкнутой Системы. Поскольку коэффициент усиления не является единственным параметром, подверженным изменению, то система может иметь большой запас по модулю и тем не менее быть склонной к неустойчивости в результате изменения параметров, влияющих на фазовый сдвиг. На рис. 7.6 видно, что если годограф для Кр - 1,65 10*, сохраняя свою форму, поворачивается по часовой стрелке относительно начала координат, то при повороте на градусов он может пройти через точку (- 1,/0). Угол поворота называется запасом устойчивости по фазе. Разумеется, физический смысл запаса по фазе следует трактовать только для вдеального случая, когда изменение параметров системы вызывает чистый фазовый сдвиг, что на практике возможно лишь в схемах с равномерной полосой пропускания. Вместе с тем чаще всего принято варьировать коэффициент усиления системы, не затрагивая при этом фазового сдвига.

Рассматривая на рис. 7.6 годограф для Кр = 6,32 10*, мы видим, что запас по фазе равен нулю, так как годограф проходит через точку (- 1, /0). При Кр > 6,32 10* запас по фазе будет отрицателен, что указывает на неустойчивость системы.

Точка, в которой годограф G(z) пересекает единичную окружность, характеризует переход усиления системы через значение, равное единице. Соответствующая этой точке частота называется частотой среза.

Из приведенных выше рассуждений можно заключить, что запас по модулю измеряется в точке, где фаза принимает значение - 180°, а запас по фазе - в точке, где коэффициент усиления системы равен единице. (

Намного проще запасы устойчивости по модулю и по фазе определя- ются по логарифмическим частотным характеристикам. Используя в качестве примера рис. 7.5, отметим точки перехода амплитудной и фазовой характеристик через О дБ и - 180° соответственно. Тогда запас по модулю в децибелах равен отрезку между амплитудной характеристикой С(е ) и уровнем О дБ при частоте, на которой фаза имеет значение -180 . Запас по фазе измеряется как разность между фазовой характеристикой G(e) и уровнем - 180° на частоте среза. Из построений следует, что если при Кр = 1,65 -10* коэффициент усиления Кр увеличить на 11,66 дБ, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. Точно так же, если, не изменяя амплитудную характеристику, сместить фазовую характеристику вниз на величину, равную запасу по фазе, т. е. на 53°, то переход фазы через - 180° произошел бы на той же частоте, при которой усиление системы равно единице, что также соответствует границе устойчивости.

7.5. АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ ДИАГРАММА И ДИАГРАММА НИКОЛЬСА

Еще одним способом представления частотных характеристик является амплитудно-фазовая диаграмма. В этом случае модуль G(z) или GiJoJw) изображается как функция фазы того же выражения, а частота со служит параметром на графике. Эта диаграмма обладает тем преимуществом, что при наложении ее на диаграмму Никольса [ 1] можно получить информацию о частотных характеристиках замкнутой системы. По амплитудно-фазовой диаграмме легко определить запасы устойчивости по модулю и по фазе, а также полосу пропускания замкнутой системы.

На рис. 7.7 изображены логарифмические частотные характеристики системы, представленной на рис. 6.5, -перестроенные в координатах амплитуда - фаза. Для случая Кр = 1,65 10* показано, как по амшштуд-но-фазовой диаграмме легко определяются запасы устойчивости по моду лю и по фазе. Диаграмма Никольса дает информацию о модуле передаточной функции замкнутой системы C{z)jR{z) [см. выражеше (7-4)] как функции частоты. По пересечениям характеристики G(Jlo) с кривыми диаграммы Никольса можно получить значения М = С(/соц,)/Л(/со,) для различных частот. Кривая диаграммы Никольса, касающаяся характеристики С(/сОц,), соответствует максимальному значению усиления замкнутой системы Мр, а частота, на которой это происходит, называется резонансной. Из рис. 7.7 следует, что при Кр = 1,65 10*М, ; 1,4дБ,или

1,175. Резонансная частота при со, = 0,35 Г = 0,1 с вычисляется по выражению (7-26):

со = arctg сои, = 6,73 рад/с. (7-32)