-210 -220 -200 ~1вО -160 -ПО -120

-90

Рис. 7.7. Частотные характеристики G (j<w) Д системы, представленной на рис. 6.5, построенные в координатах амплитуда - фаза совместно с диаграммой Никольса: I - переход усиления через О дБ; 2 - переход фазы через - 180°

7.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОСЫ ПРОПУСКАНИЯ

При синтезе систем управления в частотной области качество системы обычно оценивают по ее полосе пропускания. Так, инженер-практик часто требует, чтобы проектируемая система обладала определенной полосой пропускания, например 2 Гц. Такое понятие, как полоса пропускания, можно использовать для характеристики и непрерывных, и цифровых систем управления, поскольку с точки зрения преобразования сигнала от входа к выходу тип шстемы не имеет существенного значения.

Прежде всего важно выяснить, что имеется в виду под полосой пропускания. Для непрерывных систем второго порядка существует непосредственная связь между полосой пропускания BW и параметрами f и со . В частности, если система второго порядка имеет в замкнутом состоянии передаточную функщда , ,2

C(s) R(s)

4 2fw s +

TO ее полоса пропускания определяется выражением [ 1 ]

--,1/2

BW= cj

(1- 2f) +

(7-33)

(7-34)

соответствующим частоте со, при которой \C(Joj)IR (joS) \ =0,707.

Для цифровых систем управления простейшая передаточная функция второго порядка обычно содержит в числителе член (z - Zj), к тому же при переходе в частотную область переменная z связана с со соотношешлем Z = ei. Это осложняет получение простого аналитического выражения. Типа (7-34), связывающего полосу пропускания с расположением полюсов и нулей функции C(z)/7?(z). Однако для непрерывньгх шстем с передаточной функцией

СМ + Ts) (7.35)

s2 -1- (2fco + Tcj2)s -t- w2

существует следующее выражение для полосы пропускания:

BW=[- + \/T4Y\ (7-36)

а = 4f2co2 + цЗгр 42 (7.37)

Можно воспользоваться этими результатами, а также w-преобразованием, чтобы получить выражение для полосы пропускания цифровой системы управления второго порядка.

Рассмотрим исходную передаточную функцию замкнутой системы

C(z) K(z-z (7-38).

R(z) (z-pj)(z-p)

где z, - действительная константа; Pi и р, - действительные или комплексно-сопряженные числа. Используя билинейное преобразование (7-22), приведем выражение (7-38) к следующему виду:

C(w) + Tw)

R(w) w2 + (2Г,,со, + T,co2 )w + со2

где а)ц, , f, и не обязательно имеют какой-то физический смысл, а тфосто являются рабочими параметрами в области w, с помощью которых выражению придается стандартный вид (7-35). Тогда полоса пропускания в области переменной w = /С0ц измеренная в единицах со определяется как

(ВЩ = f- + V4:4 ] , (7-40)

= <<-L + 4f-wnT - Чп - -1Т2 (7-41)

Если по формуле (7-40) найдена полоса пропускания (ВИ) то с помощью соотношения (7-26) можно перейти к полосе пропускания в области действительной частоты

BW= I arctg (BW) (7-42)

(7-44)

Пример 7.3. Рассмотрим еще раз цифровую систему управления, изображенную на рис. 6.5. Передаточная функция разомкнутой системы задана выражением (7-15), а замкнутая система прн Кр -- 1,65 10* имеет передаточную функцию

C(z) 0.198(z + 1) .7 43j

R(z) - l,044z -I- 0,44

Требуется определить полосу пропускания замкнутой системы. Подставляя Z =.(1 + w)/(l - w) в выражение (7-43) и упрощая последнее, получим

C(w) 0.159(1 - w) I() - 0,451w0,159

Сравнивая выражения (7-44) н (7-39), имеем iwn ~ 0,4; 7\, = - 1; f = - 0,365. Тогда по выражениям (7-40) и (7-41) находим

(/?bOw = 0,513 (7-45)

и в соответствии с (7-42) действительная полоса пропускания равна 2

BW=- arctg 0,513 = 9,48 рад/с. (7-46)

Полосу пропускания можно легко найти по пересечению амплитудно-фазовой диаграммы для G (е*) с линией, соответствующей М = - 3 дБ на диаграмме Никольса. Так, для системы, рассмотренной в примере 7.3, w-преобразование G{z) приводит к амплитудно-фазовой диаграмме (см. рис. 7.7). Значение со, в точке пересечения С(/С0ц,) с линией М = = - 3 дБ на диаграмме Никольса равно 0,6, что весьма близко к результату (7-45), полученному в примере.

Метод определения полосы пропускания с помощью амплитудно-фазовой диаграммы имеет то преимущество, что он применим к системам любого порядка. Аналитический же метод, связанный с использованием выражений (7-39) - (7-42), применим только к системам второго порядка или к таким системам, которые могут быть аппроксимированы моделью второго порядка.

Как отмечалось в начале этого параграфа, гфи проектировании шстем управления часто вьщвигается определенное требование к полосе пропускания. Если задана Полоса пропускания замкнутой непрерывной системы, то для ее реализации можно воспользоваться двумя доминирующими корнями характеристического уравнения. Это означает, что динамика системы аппроксимируется передаточной функцией второго порядка видд (7-33). Для систем более высокого порядка все остальные полосы и нули должны находиться намного левее этих доминирующих корней. Например, если задано BW, то по выражению (7-34) можно определить f и со , хотя решение не является единственным. Тогда можно задаться величиной \, например равной 0,707, после чего однозначно определяется со .

Для цифровой системы управления при заданном BW эквивалентная полоса пропускания в iv-области определяется соотношением

(BW) = tg

(BW)T 2

(7-47)

Тогда на w-плоскости можно указать положение пары доминирующих