зумсгим. что полная управляемость подразумевает управляемость дли нссх ii;i4ajn.Hi.i.\ состояиий. Абсолютная управляемость является более cnjn>m.iM условием, поскольку в допопюпие к iiojhioh управляемости гробует ик;почепия в onpejiojicuHc всех начальных и всех конечных состояний. licJiH матрицы А(А), В(А), D(A) и Е(А) состоят и i иналитических функций аргумента А, шпц! полная упранляемость также пи;физумеваст абсолютную управляемость (по состоянию или по выходу). Поскольку нее матрицы липе1ии)й сгащюнарпой системы состоят из постоянных ко-зффицисптов, го НОНЯ1ИЯ aOcojHornoH и по.чпой управляемости тождест-иоппьг

О м р с д о л е ii и с 8.4. Сильная и слабая управляемость. Система па-зьпшется LU.ihiio yiiiiiin.iMCMoli (в смысле абсолют 1ой, uojhioh управляе-мосгн по СОСГОИ11И10 или по выходу), если она является управляемой по итпотсник) к кажд()11 уиХ1нляюи1ей перемеппой отдельности, причем все ocrajn.nuie переменные ранпы nyjno. В противном случае система пазыва-

слабо yiiinm.iMCMoii или просго управляемой.

8.3. 11()1ч:мы oi; ушлвлягмости для пкстлционлриых ( истгм

1 е о р с м а 8.1. Полная управляемость по состх)янию. Линейная цифровая система (8-1) является полностью управляемой по состоянию только в том случае, сели следующая матрица имеет ранг п:

q = iq q, qn-i1 (nx Nr) (8-3)

(8-5)

(8-6)

Qj С/(к,к, )В(к.) (nXr) ф(к,к. )- A(k, ,)A(k ,)...A(k.,j) (nxn) j 0,1,2,...,N 2 *(kN,ki )I i - N- 1

Локазагели-ию. 11ереходнос уравнение состояния имеет вид

I 1=0

х(к) С/(к,ко)х(к ) - X С/(к,к1)В(к.)и(к;) (8-8)

Левую часть уравнения (8-8) можно представить в виде (мcpнoгo вектора X (Ад,. Ао), записав уравнение как

X(kN,ko)=QU (8-9)

где Q матрица размерности nXNr, которая определяется соотношениями (8-3) и (8-4); и есть УУг-мерный вектор вида

х(к)- С/(к,кц)х(кц)-ь J С/(к.к(,)В(к;)и(к;) -

(ко) и(Ц)

(№ X 1)

(8-10)

В случае полной управляемости по состоянию каждое начальное состояние х(кс,) для некоторого ко должно преобразовываться в конечное состояние х(/:дг) с помощью неограниченных управлений и (Л,;), г = О, 1, N-1, за конечное Агдг > Atq. Поэтому задача состоит в том, чтобы для заданной матрицы Q и каждого вектора X(kj, kg) в и-мерном пространстве состояний определить управления, удовлетворяющие уравнению (8-9). Поскольку (8-9) представляет собой систему из п линейных уравнений, то, как следует из теории, чтобы решение существовало, эти уравнения должны быть линейно независимы. Необходимое и достаточное условие линейной независимости состоит в том, что ранг матрицы Q должен быть равен п. Другими словами, матрица Q должна имен, п линейно независимых- столбцов.

Если система (8-1) имеет только один вход г = 1, матрица Q имеет размерность пХп; тогда условие полной управлямосга по состоянию состоит в том, что матрица Q должна быть невырожденной.

Другой способ доказательства того, что мафица Q имеет ранг п, основан на том, что матрица размерностью пХп

QQ=?QiQi iXi . (8-11)

является невырожденной. Так как Q имеет ранг п, транспонированная матрица Q имеет тот же ранг. Поэтому QQ должна иметь также ранг п, или быть невырожденной.

Матрица QQ, ошсываемая соотношением (8-11), называется мафи-цей Грама, или грамианом. Таким образом, иная формулировка теоремы гласит: система (8-1) является полностью управляемой по состоянию только в том случае, если матрица Грама

W(ko,k) = QQ = Y (км,Ц.1)В(к;)В(к.)ф(к1 Ц ) (8-12)

является невырожденной.

Теорема 8.2. Полная управляемость по выходу. Линейная цифровая система (8-1) - (8-2) является полностью управляемой по выходу только в том случае, если следующая матрица имеет ранг р:

Т= IT. Т, ... Тк,] [pX(N-hl)r] (8-13)

Tj=,

[То Т, ... Т] D(kj)(kj,kj)B(ki)

i= 0,1,...,N- 1

(8-14)

Е(к) i=N

Доказательство. Подставляя переходное уравнение состояния (8-7) в уравнение выхода (8-2) при к, = после упрощения получаем

c(kj)- D(kj)(k,ko)x(kj,) = D(kj)(kj-,kjj)B(kj)u(kj) + + E(kj,)u(kj,) (8-15)

Используя соотаошение (8-14) и представляя левую часп, выражения (8-15) в виде р-мерного вектора C{kj, ко), перепишем последнее урав-

нение:

C(kj ko)= I TjU(.kj) = TV

(8-16)

u(ko) ц(к,)

U(kj,)

(N Ч- l)r X 1

(8-17)

Соотношение (8-16) представляет собой систему из р линейных уравнений, и, <fro6bi эти уравнения при произвольном начальном состоянии х(ко), некотором конечном состоянии c{kj) и заданной матрице Т имели решения относительно управлений, матрица Т должна иметь ранг р. Иными словами, чтобы система бьша полностью управляема по выходу, [рХ (N+ 1)г]-мерная матрица Т должна иметь р независимых столбцов.

Кроме того, для полной управляемости по выходу (рХ р)-мерная матрица Грама

тт = X Т;Т/ i=0

должна быть невырожденной.

(8-18)

8.4. ТЕОРЕМЫ ОБ УПРАВЛЯЕМОСТИ ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Ниже приведены теоремы об управляемости линейных цифровых стационарных систем. Некоторые теоремы сформулированы без доказательства.

Теорема 8.3. Полная управляемость по состоянию. Линейная стационарная цифровая система

x(kj) = Ax(kj) + Ви(к;) (8-19)

полностью управляема по состоянию только в том случае, если (и X Nr) -мерная матрица

Q= [В АВ АВ ... А-1В] . (8-20)

имеет ранг и или (иХ и)-мерная матрица QQ является невырожденной. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из условия уп-