равляемости по состоянию для нестационарных систем. В соответствии с выражением (8-4), если А - мафица с постоянными коэффициентами, то

Qj = ав (8-21)

* Заметим, что условие управляемости по состоянию линейных стационарных цифровых систем идентично условиям управляемости стационарных непрерьгеных систем, для которых а и в являются матрицами коэффициентов. Однако, если цифровая система получена из непрерывной системы с помощью квантования по времени, дискретное уравнение состояния имеет форму

х[(к + 1)Т] = <&(Т)х(кТ) + 0(Т)и(кТ) (8-22)

Тогда цифровая система будет полностью управляема по состоянию только в том случае, если матрица

Q=[Q ... Qj.i] (8-23)

имеет ранг п, где

Qj = ф(1Т)е(Т) i = 0,1,...,N - 1 (8-24)

Т е о р е м а 8.4. Полная управляемость по состоянию. Линейная стационарная гщфровая система (8-19) является полностью управляемой по состоянию только в том случае, если (иХ и)-мерная матрица Грама

. W= аввча--1) (8-25)

Г i=0

5 является невырожденной, где N> п.

Эта теорема следует непосредственно из теоремы 8.1 для нестационарного сл}ая.

Теорема 8.5. Полная управляемость по состоянию. Линейная стационарная цифровая система (8-19) полностью управляема по состоянию только в том случае, если Сфоки (и X т)-мерной матрицы

(zl - а)-1В

являются линейно независимыми.

Теорема 8.6. Полная управляемость по состоянию. Линейная стационарная цифровая система (8-19) является полностью управляемой по состоянию только в том случае, если [иX {п+т)]-мерная матрица

[xi- а:в]

имеет ранг п для всех собственных значений X мафицы А. Если же матрица А является диагональной или представлена в канонической форме Жордана, го строки матрицы [М - А : В], которые соответствуют последним сфокам клеток Жордана для всех собственных значений X матрицы А, не могут полностью состоять из нулей.

* Символ : разделяет матрицы [?а - А] и В в блочной матрице [Xl - А : В] -Прим. ред. пер.

Теорема 8.7. Полная управляемость по выходу. Линейная стационарная цифровая система

x(kjl)= Ах(к;)+Ви(к.) (8-26)

с(к;) = Dx(k.) + Еи(к;) -27)

является полностью управляемой по выходу только в том случае, если следующая матрица имеет ранг р:

Т=[ВА-1В DAN-2b ... DAB db Е] (8-28)

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из теоремы для нестационарного случая, поскольку в выражении (8-13) имеем

DAN- B ,= 0,1,...,N-1

Е i= N

Т е о р е м а 8.8. Полная управляемость по состоянию систем с различными собственными значениями. Для стационарной цифровой системы

х(к -к J) = Ах(к) -I- Ви(к) (8-30)

предположим, что собственные значения X,- матрицы А различны, i = 1, 2, п. Рассмотрим невырожденное преобразование Р, которое преобразует х (Л) в

у(к)=Р-1х(к) (-3

и удовлетворяет условию

A = P-lAP=diag[Xj] (-32)

Г = Р-1В ( -33)

Новые уравнения состояния имеют вид

у(к 4-1) = Ау(к) + Ги(к) (8-34)

Система является полностью (абсолютно) управляемой по состоянию только в том случае, если Г не имеет строк, полностью состоящих из нулей.

Доказательство. Поскольку А - диагональная матрица, система уравнений состояния (8-34) является несвязанной. Позтому, если какая-либо строка Г целиком состоит из нулей, на соответствующую переменную состояния не будет влиять ни одна из входных переменных, и данное состояние является неуправляемым.

Теорема 8.9. Полная управляемость по состоянию систем с кратными собственными значениями. Предположим, что цифровая система (8-30) имеет и различные, и кратные собственные значения. Тогда существует невырожденное преобразование Р, которое трансформирует уравнение (8-30) в уравнение состояния (8-34), причем матрица Л имеет капо-

ническую форму Жордана. В общем случае.Л будет иметь следующую форму:

(8-35)

где Xi, Х2 и Хз - различные собственные значения; 7 - собственное значение кратности 2. Элементы каждого блока, ограниченного пунктирными линиями, образуют клетки Жордана.

Система является полностью управляемой по состоянию только в том случае, если:

1) каждая клетка Жордана соответствует одному простому собственному значению;

2) все элементы Г, которые соответствуют последней строке каждой клетки Жордана, отличны от нуля.

Доказательство. Последняя строка каждой клетки Жордана соответствует уравнению состояния, которое полностью независимо от других уравнений состояния. Поэтому, если элементы соответствующих строк матрицы Г полностью состоят из нулей, эти состояния будут неуправляемы для любых управляющих переменных. Элементы в строках Г, которые соответствуют другим строкам клеток Жордана, могут полностью состоять из нулей, так как недиагональные элементы Л образуют связь между состояниями.

Таким образом, для матрицы Л, имеющей вид (8-35), в случае полной управляемости по состоянию, первые три строки и последняя строка матрицы Г не могут целиком состоять из нулей.

8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАБЛЮДАЕМОСТИ

Определение 8.5. Полная наблюдаемость. Линейная цифровая система, описьшаемая уравнениями (8-1) и (8-2), наэьшается иолносгью наблюдаемой, если для некоторого ко состояние х(А;о) может быть определено по известным выходной c(fc) и входной и(к) переменным для ко<:к< kj, где % - конечное время или шаг.

Определение 8.6. Глобальная наблюдаемость. Если система является полностью наблюдаемой для всех ко и всех к> ко, она называется глобально наблюдаемой.

8.6. ТЕОРЕМЫ О НАБЛЮДАЕМОСТИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Теорема 8.10. Полная наблюдаемость. Линейная цифровая система (8-1) - (8-2) является полностью наблюдаемой только в том случае, если следующая (и X pN) -мерная матрица имеет ранг п: