2) все элементы столбцов F, которые соответствуют первым столбцам каждой клетки Жордана, ненулевые.

Доказательство этой теоремы подобно доказательству теоремы об управляемости систем с кратными собственными значениями.

8.8. ДУАЛЬНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ НАБЛЮДАЕМОСТЬЮ И УПРАВЛЯЕМОСТЬЮ

Такая связь между условиями управляемости по состоянию и наблюдаемости существует и для непрерывных, и для линейных цифровых систем.

Предположим, что уравнения динамики линейной цифровой системы (система 1) заданы в виде

x(kji)= A(ki)x(kj) + B(kj)u(kj) . (8-52)

c(kj) = D(kj)x(ki) + E(kj)u(kj) (8-53)

Сопряженная система (система 2) для системы 1 описывается выражениями

у(к;1) = A*(kj)y(kj).+ D(kj)u(kj) (8-54)

z(kj) = B(kj)y(kj)-f E(kj)u(kj) . (8-55)

A*(kj)= [A-l(kj)] (8-56)

В этом случае определение сопряженной системы несколько иное, чем в п. 4.11, чтобы дуальная связь между управляемостью и наблюдаемостью была однозначной. Предполагается, что к.{к{) является невырожденной для всех ki = ко, к,.... Агдг.

Пусть переходная матрица состояния для А (Л;) описана соотношениями

Ji(kj.i,ki)

А(к.)А(к. 1).... А(к) к. > к

I kj.i = \

а переходная матрица состояния для А* (Л/) записана в виде

i;/2(kj,ko)=<

А*(к. 1 )А*(к..2) ... А(ко) к. > кр (8.5g)

I kj = ко

Используя (8-56), получим

{к.,\) = [A-l(k.)][A-l(k. i)] ... [А-1(к)]=

= [A-l(kj)A-l(k2)...A-l(k.)] (8-59)

Транспонированная матрица (/. ko) имеет вид

4>(к.,\) = [A-l(ki)A-l(k2) ... A-l(k.)] =

= [A(k.)A(kj.i) ... A(ki)] -1 = [/(k.k.l) k.,1 > ко (8-60)

Заметим, что соотношение (8-60) подобно выражению, которое связывает матрицы состояния исходной и сопряженной систем в непрерывном случае.

Дуальная связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью цифровых систем, т. е. систем 1 и 2, выражается следующим образом. Система 1. Управляемость по состоянию:

[l(kj,k)B(ko) (kj,k2)B(k) ... B(kj )]

Наблюдаемость:

[D(ko) \P;(k,ko)D(kj) ... ((;(kj i,ko)D(kj j)] Система 2. Наблюдаемость:

[В(ко) \P(k,kQ)B(k) ... V(kj j,ko)B(kj j)]

Управляемость no состоянию:

[ф(к,Х)Т>(\) \P2(k,k2)D(kj) ... D(kj )]

С учетом соотношения (S-60) запишем матрицу наблюдаемости для системы 2

L2(ko,kj )= [В(ко) \P(k,ko)B(kj) ... ф2(кк-1.ко)В(к.1)] = = [В(к(,) \!/(k,k2)B(kj) ... Vi(ki,kj)B(kj )] (8-61)

Позтому, чтобы матрица *i (%. к) бьша невырожденной, ранг 1.2{ко. должен совпадать с рангом матрицы

i(kj,kj)L2(k( k ) =

= [,Р,(к,к)В(ко) !,(к,к2)В(к,) ... В(к ,)] (8.62)

Таким образом управляемость по состоянию системы 1 подразумевает наблюдаемость ее модифицированной сопряженной системы, т. е. системы 2. Используя этот подход, можно легко показать, что условие наблюдаемости системы 1 совпадает с условием управляемости по состоянию системы 2.

Полезно выяснить, почему определение сопряженной системы должно быть несколько модифицировано [ см. уравнение (8-56) ], с тем чтобы установить дуальную связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью для этих двух систем. Следует заметить, что при определении условия управляемости состояние изменяется от х(:о) до xkj}, в то время как при определении наблюдаемости х(:о) в выражении (8-38) используются только состояния от х(Л}) до x{kpf i). Это один из возможных способов объяснения, почему индексы в переходных матрицах состояния этих двух систем отличаются друг от друга.

Для цифровых стационарных систем связь сопряженных систем может определяться обычным образом.

Система 1: .

х(к;г) = (к;) + Bu(k.) (8-63)

с(к;) = Ох(к;) + Еи(к;) (8-64) Система 2:

у(к;1) = А*у(к;)+Ви(к;) (8-65)

2(к;) = Ву(к;) + Еи(к;) (8-66)

А* = (А-1) (8-67)

Связь между переходными матрицами состояния этих двух систем выражается соотношением

\!1(к;)= [\!/2Ц)Г1 = t (8-68) j=l

Дуальная связь между управляемостью по состоянию и наблюдаемостью этих систем очевидна.

8.9. СВЯЗЬ МЕЖДУ УПРАВЛЯЕМОСТЬЮ, НАБЛЮДАЕМОСТЬЮ И ПЕРЕДАТОЧНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В классических методах анализа и синтеза систем управления для описания линейных стационарных систем, как правило, используются передаточные функции. Одно из преимуществ их использования состоит в том, что управляемость по состоянию и наблюдаемость непосредственно связаны с минимальным порядком передаточной функции. Следующая теорема устанавливает связь между управляемостью и наблюдаемостью и компенсацией полюсов и нулей в передаточной функции.

Теорема 8.17. Управляемость, наблюдаемость и передаточные функции. Если в передаточной функции, связывающей входной и выходной сигналы линейной стационарной цифровой системы, имеется компенсация полюсов и нулей, то в зависимости от выбора переменных состояния система является либо неуправляемой по состоянию, либо ненаблюдаемой, либо и той и другой одновременно. Если в передаточной функции отсутствует компенсация нулей и полюсов, систему всегда можно описать уравнениями динамики как полностью управляемую и наблюдаемую.

Доказательство. Предположим, что цифровая система и-го порядка с одним входом и одним выходом и различными собственными значениями описывается уравнениями динамики

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-69)

с(к) = Dx(k) (8-70)

Приведем матрицу А к диагональному виду с помошью (иХ и) -мерной