Поскольку W является вырожденной матрицей, пара [А, в] неуправляема. (Теорема 8.5) :

(zi--a)-1b =

z -а О

z -а

z -а

А. z -а

(8-92)

Поскольку строки матрицы (г! - А) линейно зависимы, пара [А, в] неуправляема.

(Теорема 8.6) :

[xi-А: В] =

Тогда

Х-а О

(8-93)

(8-94)

(8-95)

Поскольку ранг матриц [Xjl - А : в] и [Хг! - А : в] не равен 2, пара [А, в] неуправляема.

Пример 8.3. Рассмотрим линейную цифровую систему управления, входная и выходная переменные которой связаны разностным уравнением

с(к +) + 2с(к + 1) + с(к) = и(к -f-1) + u(k) (8-96)

Это разностное уравнение преобразуется в следующие уравнения динамики:

х(к -f-1) = Ах(к) + Ви(к) (8.97)

(8-98)

с(к) = Dx(k)

D = [l 1]

Поскольку матрица

q = [b ав] =

(8-99)

является невырожденной, система полностью управляема по состоянию для пер менных состояния х, (fc) и Хг (к). Наблюдаемость системы исследуется с помощью матрицы

l -1

L=[D ad] =

(8-100)

Поскольку L является вырожденной матрицей, система ненаблюдаема, т. е. не все состояния Xiik) и Х2 (.к) могут быть определены по известной выходной переменной с (0) за конечный интервал времени (О, N).

Система, описьшаемая уравнениями (8-97) и (8-98), является управляемой по выходу, так как матрица

T=[DAB DB]=[-1 1] (8-101)

имеет ранг, равный 1.

Отсюда следует, что выбранные переменные состояния, связанные уравнениями (8-97) и (8-98), образуют систему, которая является управляемой по состоянию и по выходу, но ненаблщдаемой.

Переопределим теперь переменные состояния системы таким образом, чтобы уравнения динамики по-хфежнему имели вид (8-97) и (8-98), но при друшх матрицах коэффициентов

D=[l 0]

Проводя анализ, подобный проделанному вьппе, находим, что 1 - 1

Q = [BAB] =

l=[dAd]

- система неуправляема по состоянию;

- система наблюдаема;

(8-102)

(8-103)

T = [DABDB] -[l l] - система управляема по выходу. (8-104)

Изменения в свойствах управляемости и наблюдаемости в зависимости от выбора переменных состояния объясняются тем, что в передаточной функции системы (8-96) имеется компенсация полюса и нуля. Управляемость по выходу не зависит от выбора переменных состояния.

Пример 8.4. В этом примере мы рассмотрим некоторые практические вопросы применения критериев управляемости и наблюдаемости. Большинство реальных систем управления технологическими процессами и аэрокосмическими объектами имеют высокий порядок, поэтому применение критериев управляемости и наблюдаемости не будет столь наглядным, как в примерах 8.2 и 8 3.

Цифровая модель динамики космического корабля описывается векторно-матричным уравнением состояния

х(к +1) = Ах(к) + Ви(к) (8-105)

гдеАиВ-соответственно матрицы размерностями 11X11 и 11X1. Для удобства представим матрицу А в блочном виде следующим образом:

21 22

(8-106)

где Ап= 0(5X5);

0,176

-0,366 6,02

-24,0 0,69

-19,9 О О

-134,6 -0,69 19,9 О О

-6,1 О О О

-3,66 -6,1

-1,06 10,17 -293,0 О О

-0,188 О О О

2,36 -0,188

-856 О О О

-52,86 -85,4

0.02 0,304 -8,76 -11,67 О

-2,56 О О О

-0,168 -18,84

-0,113 О О

2,0 -7,0 -0,113

(8-108)

-0,077 О О О

-0,005 -0,388

(8-109)

в = [О О О О О -7,28 ООО -0,478 -7,28] (8-110)

Поскольку система имеет только один вход, исследовать ее управляемость можно с помощью вычисления определителя матрицы размерностью 11X11

q=[b ав ав ... ав] (8-111)

который равен iqi ==4,46 10. Поэтому система полностью управляема по состоянию. Однако при синтезе закона управления с обратной связью по состоянию по заданному расположению собственных значений замкнутой системы возникают определенные вычислительные трудности. Очевидно, некоторые характерные особенности системы не могут быть объяснены только матрицей управляемости (8-111). Для дополнительной проверки управляемости преобразуем матрицу а к диагональному виду с помощью преобразования подобия. Собственные значения матрицы различны и имеют следующий вид: -0,603 ± j30,15

-0.0328 ± jl.76

-0,0276 ± jl,36 ±jl,0

-0.00056 ± j0,29 О

Матрица Г несвязанной системы имеет вид

-8,16 X 10 1,67 X 10 -9,32 X 10 2,99 X 10 -1,32 X 10 9,00 X 10 -1,76 X 10 1,54 X 10 1,97 X 10 -3,19 -2,79 X 10

-2 -1 -10 -3

(8-112)