Заметим, что теоретически, поскольку матрица Q (8-111) имеет ранг, равный 11, и ни один из элементов Г не равен нулю, система должна быть полностью управляемой по состоянию. Однако, как следует из выражения (8-112), последний элемент матрицы Г приблизительно равен нулю и систему можно считать почти неуправляемой . С практической точки зрения, поскольку элементы Г отражают связь не связанных между собой состояний с входной переменной, значения этих элементов показьшают степень управляемости соответствующих состояний. В рассматриваемом случае последний элемент матрицы Г соответствует собственному значению матрицы А, равному нулю, и практически невозможно изменить это собственное значение с помощью обратной связи по состоянию.

Таким образом, хотя различные методы анализа управляемости и наблюдаемости кажутся эквивалентными, при рещении практических задач благодаря количественным характеристикам системы один метод может оказаться более наглядным, чем другой. В рассматриваемом случае, хотя проверка ранга матрицы Q показьшает, что система является полностью управляемой по состоянию, метод, основанный на преобразовании подобия, указьшает на трудности в управлении определенными состояниями.

8.12. ТЕОРЕМЫ ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ УПРАВЛЯЕМОСТИ

В гл. 4 были описаны преобразование подобия и преобразование к канонической форме фазовой переменной, которые в определенных случаях облегчают анализ и синтез цифровых систем управления. Рассмотрим влияние этих невырожденньгх преобразований на свойства управляемости и наблюдаемости. Кроме того, исследуем влияние на управляемость и наблюдаемость обратных связей по состоянию и по выходной переменной.

Теорема 8.18. Теорема об инвариантности управляемости относительно невырожденного преобразования. Рассмотрим цифровую систему управления п-то порядка

х(к 4- 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-113)

в которой пара [А, В] является полностью управляемой. Преобразование х(:) = Ру(:), где Р - невырожденная матрица, приводит систему (8-113) к виду

у(к -и) = Лу(к) -I- Ги(к) (8-114)

где Л = Р * АР; Г = Р~ * В. Тогда пара [Д Г] также является управляемой. Доказательство. Матрица управляемости системы (8-114) имеет вид

= [Г АГ ЛГ ... А -Г] =

= [Р-В Р-АРР-В (P-lAP)(P-lAP)P-B ... (P-lAP) -lp-lB] =

= Р-ЧВ АВ АВ ... A -1b]=P-1s (8-15)

s=[b АВ АВ ... А -В] (8-116)

так как пара [А, В] является управляемой и матрица S имеет ранг и. Таким образом, поскольку Р является невырожденной матрицей, ранг матриц Si и S совпадает, и пара [Д Г] полностью управляема.

В действительности приведенная теорема при соответствующем вы-

боре невырожденной матрицы Р распространяется на преобразование подобия и преобразование к канонической форме фазовой переменной.

Теорема 8.19. Теорема об инвариантности наблюдаемости относительно невырождениого преобразования. Рассмотрим цифровую систему управления -го порядка

х(к + 1) = Ах(к) -f- Bu(k) (8-117)

c(k) = Dx(k) (8-118)

в которой пара [А, D] является полностью наблюдаемой. Преобразование x(/t) = Ру(), где Р - невырожденная матрща, приводит систему уравнений к виду

у(к + 1) = Лу(к) -t- Ги(к) (8-119)

с(к) = DPy(k) (8-120)

Тогда пара [Л, DP] также является наблюдаемой.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 8-18. Составим матрицу наблюдаемости

Vj = [(DP) A(DP) (A2)(DP) ... (A -(I5P)] (8-121)

Подставляя A = P~ АР в последнее выражение и упрощая, можно показать, что Vi имеет ранг, равный п, если пара [А, D] является наблюдаемой.

Теорема 8.20. Теорема об управляемости замкнзтых систем с обратной связью по состоянию. Если цифровая система

х(к + 1) = Ах(к) + Ви(к) (8-122)

является полностью управляемой, то замкнутая система, получаемая с помощью обратной связи по состоянию

и(к) = г(к) - Gx(k) (8-123)

и описываемая уравнением вида

х(к -I- 1) = (А - BG)x(k) -I- Вг(к) (8-124)

также является полностью управляемой. В то же время, если пара [А, В] неуправляема, не существует матрицы С, которая делает пару [А - BG, В] управляемой. Иными словами, если разомкнутая система является неуправляемой, то она не может быть преобразована в управляемую с помощью обратной связи по состоянию.

Доказательство. Под управляемостью пары [А, В] понимают, что существует управление u(fc) на интервале [ О, N] такое, что из начального состояния х(0) система переводится в состояние х(Л) за конечный интервал времени Ж Перепишем уравнение (8-123) в виде

г(к) = и(к) + Gx(k) (8-125)

Это уравнение описывает управляющее воздействие в замкнутой системе. Таким образом, если существует и(А:), которое может перевести систему из х(0) в х(Л) за конечное время, то, как следует из выражения

(8-125), г (к) также существует, и замкнутая система также является управляемой.

И, наоборот, если пара [А, В] неуправляема, т. е. не существует управление и(к), которое переводит систему из некоторого состояния х(0) в состояние x(iV) за конечное время N, то невозможно найти входную переменную г (Л), которая аналогичным образом влияла бы на состояние х(Л). В противном случае можно было бы выбрать и (Л) вида (8-123) для управления разомкнутой системой.

Теорема 8.21. Теорема о наблюдаемости замкнутых систем с обратной связью по состоянию. Если система, описьшаемая уравнениями (8-117) и (8-118), является управляемой и наблюдаемой, то обратная связь по состоянию (8-123) может сделать систему ненаблюдаемой. Другими словами, наблюдаемости разомкнутой и замкнутой систем в случае обратной связи по состоянию не зависят друг от друга.

Следующий пример иллюстрирует зависимость между наблюдаемостью и обратной связью по состоянию.

Пример 8.5. Для системы, описъшаемой уравнениями (8-117) и (8-118), поло-

D=[l 2]

Можно показать, что пара [Л, В] управляема, а пара [А, D] наблюдаема. Пусть обратная связь по состоянию определяется соотношением

u(k) = r(k)-Gx(k)

G=[gi gg]

Тогда замкнутая система описьшается уравнением состояния х(к -И) = (А - BG)x(k) -I- Вг(к)

A-BG =

-gl . 1-2 -2-gi -3-g2

Матрща наблюдаемости замкнутой системы имеет вид

1 -3gi-4

2 -3g -5

V=[D (A-BG)D] =

Определитель матрицы V равен IVI = 6gj-3g2-l-3

Поэтому, если gi и 2 выбрать такими, чтобы V =0, то замкнутая система будет ненаблюдаемой.

(8-126) (8-127)

(8-128) (8-129)

(8-130) (8-131)