20 О -20 -40 -60 -60 -100

ОМ 0,04

-160

-360

Ofll 0.02 0,05 0,1 0.2 0,5

1,0 г 4 5 Ц рад/с

10 го 50

Рис. 9.10. логарнфмк11еские частотные характеристши импульсной системы управления:

1 - амплитудная характеристика GfioG*(jui) для нескорректированной системы;

2 - амплитудная характеристика цепи с отставанием по фазе; 3 - амплитудная характеристика GfjoG(;G*(ju)) для скорректированной системы; 4 - фазовая характеристика для l/.[s (i + 1) ]; 5 - фазовая характеристика G/jqGqG* (/cj) для скорректированной системы; 6 - фазовая характеристика нескорректированной системы; 7 - точка разрыва непрерывности фазовой характеристики; 8 - запас по фазе в нескорректированной системе, равный нулю

оказаться недостаточно, чтобы скомпенсировать резкое убывание фазы нескорректированной системы в окрестности новой частоты среза. Позтому более подходящим для данной системы оказывается регулятор с отставанием по фазе.

Типичный регулятор с отставанием по фазе описывается передаточной функцией

G(s) = Vr (9-8)

где а и т - константы, причем а всегда меньше единицы. В соответствии с рис. 9.10 запас по фазе 45° можно обеспечить, если изменить частоту сре-

за с 1 на 0,5 рад/с. Поскольку отрицательный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством, неизбежно повлияет на результирующую фазовую характеристику скорректированной системы, новую частоту среза следует выбрать немного меньшей, чем 0,5 рад/с, например, со = = 0,4 рад/с. По логарифмическим характеристикам (см. рис. 9.10) находим, что на этой новой частоте среза усиление GhoG*{jbS) составляет примерно 8 дБ. Следовательно, регулятор на той же частоте должен вносить ослабление сигнала на 8 дБ, что приводит к требованию

201g =-8nB, (9-9)

откуда

а =10/20 =10-0.4 = 0,4 (9-10)

Полученное значение жестко фиксирует расстояние между точками изло- ма амплитудной характеристики регулятора. Для определения точного положения этих изломов, 1/(йт) и 1/г, необходимо сначала поместить правый излом со = 1/ (дт) в таком месте, чтобы отставание по фазе, создаваемое регулятором на новой частоте среза, было незначительным. Это достигается при условии, что правый излом находится на частоте в 10 раз меньшей, чем новая частота среза, т. е.

Тогда сразу определяется и частота, соответствующая левому излому:

1/т = 0,04й = 0,016 рад/с. (9-12)

Подставляя найденные значения а и т в выражение (9.8), ползшм пере- даточную функцию регулятора

Амплитудная и фазовая характеристики скорректированной системы с передаточной функцией GfiQG(.G*(jou) изображены на рис. 9.10. Запас по фазе, как и требовалось, равен 45°.

При постановке задачи синтеза мы потребовали, чтобы запас по фазе в скорректированной системе бьш равен 45°. Этот запас выбран исходя из того, что на практике ему соответствует приемлемая относительная устойчивость систем данного типа. Однако непрерьшная система - зто всего лишь аппроксимация исходной импульсной системы, позтому значение запаса по фазе 45° является cnopHbnvi. Судить о том, насколько хороша спроектированная система, можно только, подставив регулятор с передаточной функцией (9-13) в импульсную систему, приведенную на рис. 9.1, и оценив ее качество.

При К = 1,57 передаточная функция разомкнутой импульсной системы с коррекцией принимает вид

flGho(s)G(s)G (s))=(l-z-l)

0.628(s 4- 0.04)

s% + l){s 4- 0,016)

(9-14)

in , \n f \г f м- 2.6e7z-0.816z-0.172 lbbols)Oj.VsjUpVs - jj o208)(z - 0,984)

(9-15)

(9-16)

Замкнутая система имеет передаточную функцию Г(7} 2.667z-0.815z-0.172 I() z + 0,47 Sz -f- 0,582z - 0,384

He прибегая к вычислениям, по первому члену в числителе этого выражения сразу можно сказать, что максимальное значение переходной функции будет, по крайней мере, равно 2,667. На рис. 9.11 изображена переходная функция скорректированной импульсной системы. Она, хотя и затухает, имеет сильно выраженный колебательный характер, поэтому в данном случае запас по фазе 45° не может служить адекватным критерием качества системы. Это означает, что аппроксимация УВХ звеном запаздывания может привести к значительным погрешностям при синтезе импульсных систем управления.

Синтез с помощью билинейного преобразования. Выше (см., например, п. 7.2) бьшо введено билинейное преобразование, которое отображает передаточную функцию <j(z) цифровой системы управления в новую функцию G(w) комплексной переменной w. Это vi;-npeo6pa30BaHHe переводит единичную окружность на z-плоскости в мнимую ось на w-плоскости. Как бьшо показано в гл. 7, для G (w) можно построить логарифмические частотнью характеристики, т. е. зависимость амплитуды в децибелах и фазы в градусах от со, являющейся мнимой частью w. Непосредственно по этим кривым можно определить запасы по модулю и по фазе, характеризующие степень устойчивости системы. Амплитудную и фазовую характеристики можно перенести на диаграмму Никольса [1] и получить, таким образом, информацию о резонансном пике, резонансной частоте и полосе пропускания.

Ниже рассмотрим прямой метод синтеза цифровых систем управления с аналоговыми регуляторами, основанный на применении vinpeo6pa-зования*. Этот метод не связан с какой-либо аппроксимацией УВХ и обладает всеми преимуществами синтеза в частотной области.

Применительно к структурной схеме, приведенной на рис. 9.1, можно предложить следующие основные этапы синтеза.

1. Определяют передаточную функцию системы без коррекции

GhoGp(w)=GboGp(z)

(9-17)

Рис. 9.11. Переходная функция импульсной си- / схемы управления, синтезированной в примере 9.1: . е 1 - установившееся значение с (f) 72]

7Т 9Г ПТ 13Т 1ST ПТ ШПТ t

* Синтез цифровых систем можно также производить в w-области. С -преобразованием читатель может познакомиться в работе [4].