2. Полагая w = /сОу, строят логарифмические частотные характеристики для функции G/joGp(w) и, если необходимо, амплитудную и фазовую характеристики переносят на диаграмму Никольса. С помощью последней находят запасы устойчивости по модулю и по фазе, резонансный пик, резонансную частоту и полосу пропускания и оценивают динамические свойства нескорректированной системы.

3. Если необходима коррекция системы, то GfjoGp(w) умножают на передаточную функцию последовательного регулятора (w). Регулятор вводят в целях изменения формы частотных характеристик G/joGp(w). В соответствии со своей передаточной функцией в w-области он может давать либо опережение по фазе, либо отставание по фазе, либо сочетать в себе и то и другое. Важно отметить, что характеристики типа фильтра нижних или верхних частот в w-области могут и не иметь прямых аналогов в s-области. Позтому отнесение регулятора к тому или иному типу по виду его передаточной функции (w) производится исключительно с той целью, чтобы использовать известные представления о влиянии аналогичных регуляторов на коррекцию непрерывных систем в s-области.

По полученной передаточной функции Gj,(w)G/,oGp(w) необходимо сначала перейти к выражению (sXAo (s)Gp (s), a затем выделить передаточную функцию регулятора G (s), поскольку произведение G;, (s)Gp (s) известно.

Одно из важных требований заключается в том, чтобы передаточная функция Gg(s) была физически реализуемой. Кроме того, если возможно, функция (s) должна быть реализована в виде схемы, содержащей только элементы RuC. Отсюда вытекают следующие требования к G (s):

а) пслюсы функции G(s) должны лежать в левой половине s-плоскости и быть простыми и действительными;

б) количество полюсов G(s) должно быть больше числа нулей или равно ему. Вообще говоря, нули (s) могут лежать где угодно на i-плос-кости. Из (а) следует, что область расположения полюсов G (s) ограничена отрщательным направлением действительной оси. Так как полюсы

(s) обусловлены полюсами G (w), а отрицательное направление действительной оси на s-плоскости соответствует отрезку - К w < О на w-nnoc-кости (рис. 9.12), то это означает, что (w) может иметь только простые действительные полюсы в диапазоне от - 1 до 0.

4. Если найдено G(vi)GoGp(vi), то, чтобы получить выражение Gc(s)Gfio {s)Gp{s), надо сделать обратный переход от переменной w к переменной S. Следует отметить, что

G;(w)GboG (w)= [GGboGp(z)]

1+w (9-18)

(9-19)

z-преобразование для передаточной функции разомкнутой системы без коррекции имеет вид

G.(s)

(9-20)

Рис. 9.12. Расположение полюсов GCs) и Gc(w), соответствующее физически реализуемым RC-схемам

Переходя к переменной w, получим

s-nnocKocmt

w-nnocmcmb

GJs)

2w 1 + w

GJs)

(9-21)

С учетом последовательного регулятора GcCw) запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

(9-22)

G;(w)GoGp(w) = GboG,Gp(w) =

GJs)Gp(s)

1 + W

1-w

GJs)Gp(s)

1-w

W 4- 1

G;(w)GboG (w)

(9-23)

Передаточная функция Gc{s)Gp{s)ls получается из выражения (9-23) путем разложения G(;{w)GfjoGp{w) на сумму элементарных дробей и нахождения соответствующих им оригиналов в области переменной s. Для этой цели можно использовать табл. 9.1, устанавливающую связь между преобразованием Лапласа, z- и w-преобразованлями.

5. Из найденного выражения Gf.(s)Gp(s)ls нетрудно получить (s). Однако из-за несоответствия между числом нулей в s- и w-плоскости передаточная функция Gf. (s) во многих случаях будет иметь нулей больше, чем полюсов. Чтобы выйти из положения и сделать функцию (s) физически реализуемой, в нее можно добавить один или несколько удаленных полюсов, расположенных на отрицательном направлении действительной оси. Эти добавочные полюсы не должны оказывать сколько-нибудь заметного влияния на показатели качества системы.

Пример 9.2. Реишм ту же задачу, что и в примере 9.1, только с помощью билинейного преобразования. Передаточная функция управляемого процесса задана выражением (9-5), где = 1,57; период квантования Г= 1,57 с.

Передаточная функция разомкнутой системы имеет z-прео.бразование

s% + 1)

1.22(z + 0.598) ~(z-l)(z-0.208)

Применяя к этому выражению w-преобразование, получим

(9-24)

GhoGp(-) = GhoV )

1.232(1 + 0.251w)(l - w) w w(H-l,525w) 4-w

(9-25)

j, Логарифмические частотные характеристики для G/,oGp(w) изображены на

Таблица 9.1

Преобразование Лапласа G(s)

2-преобразование G (z)

w-преобразование G (w)

s -f- a

(s + a)

s(s-l-a)

s2-bco2

(s + a)2 -f- w2

z-1 Tz

(z-l)2 ,

Tzfz -f 1) 2(z-l)3 г

w-f 1 2w

T(l -f- w)(l - w)

Td-f w)(l-w) 1-f-w

1-f-e

1-f-L 1-е

(1 -f w)(l - w)Te-

(l-e- T)2

1-f-e

-аТ 12

(z-l)(z-eT)

(1 -f-w)(l-w)

1-f-e

-aT

(z-l)2 a(z-l)(z-e-T)

zsinoiT - 2zcoswT -f-1

zesinojT

z2-2zeTT, + -2aT

T(l-w)(l-bw) (l-w)(l-f-w)

1-1-

1-f-e

(1 -w)(H-w)sinajT 2[(1 + vrb - (1 - w2)coswT]

(l + w)(l-w)e-sinajT (l-bw)2-2(H-w)(l-w) ecoscjT -f- (1 - w)e-2

рис. 9.13. Фазовая характеристика пересекает уровень - 180° при частоте = 1, и нескорректированная система обладает очень малым запасом устойчивости. Чтобы получить запас по фазе 45°, частоту среза нужно сдвинуть в точку и>н, = 0,4, где I GfjoGp{\v) I = 8 дБ. Для этого амплитудную характеристику в окрестности точки toyy = 0,4 надо опустить на 8 дБ, не уменьшая при этом коэффициента передачи системы.

Выберем в качестве аналогового регулятора ciw) модель с отставанием по фазе , т. е.

(9-26)

G(w) = i

1 -I- TW

(а<1)

Поскольку требуемое ослабление составляет 8 дБ, то

201gc = - 8дБ, откуда

й = 10 ° =0,398.