При синусоидальном входном сигнале выходная величина будет также синусоидальной функцией с той же частотой. Заменяя ау. их символами и используя выражения {П1.1), приходим к символическому уравнению

Шп (М) Лвых + О) вых е + +/ . (/(О) Лвых +

+ о вых + ]! вых = вх

Сокращая на е/ и решая относительно Лвых! получим!

Лых = 6Лх. {П1.2)

ё=-!-г = в(;(й). (П1.3)

m (/a)) + m ,{/co) -+ ... +m, + m .

Величины Л называются комплексными амплитудами, а связывающая их функция в - комплексной функцией схемы. Учитывая, ЧТО

вых = Лых Лх = вх

и представляя 6 в той же форме (0=0е), получим модуль и фазу реакции в виде

вых = 0вх. (П1.4а)

Ф ых=- + Фвх. (П1.46)

Таким образом, модуль в определяет отношение выходного и входного сигналов. В зависимости от их размерностей функция схемы будет комплексной проводимостью Y(J(a), комплексным сопротивлением Z (Ja) или безразмерной величиной-комплексным коэффициентом передани K{j(a). Фаза г]) определяет разность фаз выходного и входного сигналов. Поскольку и модуль в, и фаза ор являются функциями частоты, можно построить их частотные характеристики (см. § 1.3), которые существенно облегчают расчеты.

Мы показали, что символический метод позволяет обойти решение дифференциального уравнения. Оказывается, этот метод также исключает необходимость составления уравнения. Для этого надо приписать индуктивностям и емкостям в схеме символические

сопротивления jaL и и далее рассчитывать схему по законам

Кирхгофа. В результате выражение (П1.2) получается без подстановки символов в уравнение.

(реакция схемы) связан со входным сигналом уравнением

Например, рассмотрим цепь на рис. П1.2, в которой ток связан с напряжением уравнением

L /?г + J idt = и cos [mi + ф.).

Подставляя символы и производя описанные выше действия, щ;.

лучим:

j(oC

Но этот же результат можно запясаи и непосредственно, как комплексную амплитуду тока в последовательной Рис. П1.2. Последовательная цепи из трех сопротивлений: J&L, R Л-L-С-цепочка (последовательный колебательный контур).

и . Согласно (П1.4) величина фаза тока будут:

% = arctg

(oL -

Следовательно, i= fcos(at + Ц)),

Ряды Фурье. Символический метод позволяет непосредственно определить реакцию схемы на синусоидальный сигнал любой частоты. Рассмотрим использование этого метода для определения реакции на сигнал сложной формы. Несинусоидальный, но периодический сигнал можно разложить на синусоидальные составляющие, т. е. в ряд Фурье:

(О = 0 Ь i + а 2й) -г ... + а cos at -)- aj cos 2(0/ + ...,

(П1,5)

= J a{t)dt,

-Til

c = -; J a {t) sin (пШ) di,

-ты Til

a;;=x-; J a {t) cos (n(ut)di.

(П1.ба) (П1.66) (Ш.бв)

-r/j

+ 00

(0 = 4- S л (;л(й) (П1.7а)

п= - ое

A{jna)= a(t)e-<dt. (П1.76)

Величина Л (улсо) объединяет в себе все три формулы (П1.6) Для коэффициентов ряда Фурье, т. е. является обобщенной комплексной амплитудой или изображением л-й гармоники. Функция времени a(t) получается, согласно (П1.7а), своеобразным суммированием этих изображений .

*) При такого рода оценках нужно убедиться в том, что амплитуды входных гармоник не возрастают с частотой.

Реакции на каждую из составляющих ряда {П1.5) можно найти символическим методом, а затем сложить аналитически

или графически. На практике такой путь оказывается чрезвычайно громоздким даже при небольшом числе учитываемых членов

!i ряда.

Определение реакций на каждую из гармоник существенно облегчается при наличии частотных характеристик функции

.,е. По ним быстро находим модуль и фазу ap для частоты л/ I и по выражениям (П1.4) определяем амплитуду и фазу каждой ц выходной гармоники. Ценность частотных характеристик станет еще более очевидной, если учесть, что они могут быть получены экспериментально. Тем самым отпадает необходимость в кропотли-вых расчетах с целью получения аналитических выражений типа ] (П1.3). Отметим еще, что по виду амплитудно-частотной характе-ристики в (со) можно быстро оценить, какими гармониками входного г сигнала (П1.5) можно пренебречь ввиду их сильного относительного - ослабления схемой.

Пусть, например, основная частота равна ш (рис. 1.8, а). Тогда, как видим, гармоники с частотой 2(0, и выше слабо воспроизводятся

* схемой и, следовательно, в ряде (П1.5) можно пренебречь всеми ; гармониками, кроме первой *).

Поскольку после разложения входной функции в ряд мы далее I используем символический, комплексный метод, целесообразно и ; сам ряд Фурье представить в комплексной форме. Эта форма получается из (П1.5) путем представления синусов и косинусов в экспоненциальной форме Эйлера, объединения членов с одинаковыми показателями экспонент и использования формул ; {П1.6). В результате получается: