на связи между характеристиками k [t) и k°{i), найденной С. И. Ев-тяновым

ko(t)=2xk°(t). (7.23)

Соответствующий операторный относительный коэффициент усиления k°{p) выражается через операторную производную от Г ip ). т. е.

?(/) = 2т е(Л- (7.24)

Производная изображается простым произведением p°k°{p°) без дополнительных членов вследствие того, что при /<:0 усиление k{t) = Q. Переходная характеристика k°{t) может быть найдена непосредственно по формуле (7.23) или получена как оригинал выражения (7.24).

В случае произвольной формы огибающей входного напряжения, выраженной не в операторном виде, как в формуле (7.20), а функцией времени, для нахождения огибающей выходного напряжения допустимо пользоваться интегралом Дюамеля

t/ B x {t) = K, [t/ 3x (0) {t) + \ k°{%) f/; if-X)dl] . (7.25)

Из изложенного следует, что для вычисления различных переходных характеристик огибающих необходимо сначала найти укороченный коэффициент передачи k° (р°) для случая, когда огибающая входного напряжения имеет вид единичной ступени.

Определение укороченного коэффициента усиления. Полный коэффициент передачи любого избирательного усилителя с малым затуханием можно выразить в виде частного двух полиномов

в которых частота со, вообще говоря, не равна резонансной частоте контура (Ор и в переходном процессе изменяется вблизи резонансной частоты, т. е. co = cOp-}-fi. Изменяющаяся частота Q невелика и пропорциональна малому параметру - затуханию, т. е. й бсОр. Учитывая, что (О = с0р4 Q, перепишем (7.26) следующим образом:

(/M -f/Q,S)

KU% + m= QI;+ja J (7.27)

В этом выражении JQ имеет смысл изменяющегося оператора, в то время как /сОр является обычной постоянной мнимой величиной.

Из (7.27) следует, что коэффициент усиления зависит от малых параметров-затухания 6 и оператора уй.

Упрощение полиномов Р п Q достигается разложением их в ряды Тейлора по степеням оператора yQ около усОр и в ряды Маклорена по степеням 6. После разложения производные высших порядков могут быть отброшены, поскольку в избирательных системах амплитуда и фаза изменяются медленно. Если учесть лишь члены первого порядка малости, то получим укороченный коэффициент усиления

djm д&

Величина Q в начальной точке разложения тождественно равна нулю, т. е.

Q(/(up+/Q, б) /Q=, = Q(y(Op, 0) = 0.

Поэтому она не входит в состав знаменателя формулы (7.28). Равенство Q(y(Op, 0) = 0 означает, что контур не имеет потерь и на резонансной частоте (Ор его сопротивление бесконечно велико.

В системах из двух слабо связанных контуров выражение (7.28)

дает неопределенность вида -д-, поэтому в числителе и знаменателе

следует удерживать величины второго порядка малости. В этом случае

2 а(/м) +д1адб + 2 аб

В дальнейшем для оператора уЙ будет употребляться обозначение р°, причем значок о должен напоминать о том, что оператор описывает изменение огибающей, а не мгновенных значений.

Переходные характеристики резонансного усилителя для огибающей. Укороченный операторный коэффициент усиления определяется из точного выражения относительного коэффициента усиления, в качестве которого можно воспользоваться правым сомножителем формулы (7.1)

Учитывая, что б - величина второго порядка малости, можно записать бРя=6 -. Упрощая знаменатель по формуле (7.28), по-лучаем:

\ % р / р р р

где отброшена величина второго порядка 6JQ. После замен

jQ=p, 1/сОр = )/ТС==т и подстановки приближенных значений бР и Q в формулу (7.30) получаем относительный операторный коэффициент усиления одного каскада резонансного усилителя

Оригиналом этого выражения является переходная характеристика огибающей для случая, когда огибающая входного напряжения имеет форму единичной ступени

k°{t)\-e 2t . (7.32)

Для того чтобы определить форму выходной огибающей при подаче на вход усилителя гладкой единичной ступени, умножим правую часть (7.31) на 2хр и найдем относительный операторный коэффициент усиления для огибающей

= (7.33)

Р+Тх

Огибающая амплитуд при входном напряжении в виде гладкой ступени является экспонентой

k\(t) = be 2t . (7.34)

Множитель б показывает, что амплитуда начального колебания составляет малую долю от амплитуды установившегося значения, получаемого в случае, когда на вход поступает синусоидальное напряжение с единичной огибающей.

Если в резонансном усилителе п одинаковых каскадов, то коэффициент усиления получается возведением в степень п правой части (7.31):